湖南省一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题（解析版）.docx

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长沙市一中2023届高三月考试卷（二）

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合，再求出其补集，然后可求得.

【详解】由，得，

所以，

所以或，

因为，

所以，

故选：A

2.一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，，11，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则的值是（）

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义进行计算即可.

【详解】依题意是整数，那么40%分位数9.5就是第，第位数的平均值，于是，解得.

故选：C

3.设非零复数，在复平面内分别对应向量，，为原点，则的充要条件是（）

A. B. C.为实数 D.为纯虚数

【答案】D

【解析】

【分析】设，，则，，计算出，然后结合可得答案.

【详解】设，，则，，

且，

由知且，故的充要条件是为纯虚数，

故选：D．

4.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用补体法可求液体的体积.

【详解】将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，

过作底面的平行平面，与过的母线交于，连接，

则，故圆柱底面的半径为

则容器内液体的体积为，

故选：B.

5.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（）

A.

B.

C.

D.在方向上投影向量为

【答案】C

【解析】

【分析】分别以所在直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形，

所以，

作，则，

因为，所以，所以，

同理可得其余各点坐标，，，，，，

对于A中，，故A正确；

对于B中，，故B正确；

对于C中，，，，

所以，故C错误；

对于D中，，，所以在方向上的投影为，

又因为，所以在方向上的投影，向量为，故D正确.

故选：C.

6.已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.

【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，

由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，

由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，

由，当时，，

故选：B.

7.设，则（）

A B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数通过单调性比较.

【详解】，

令，

则，

所以在上单调递减，又，，

所以，即；

，

令，则，

所以在上单调递减，，

所以，

所以，

所以；

，令，

再令，

从而可得，

所以，因此在上单调递增，

又，所以，所以，故.

所以.

故选：A

8.截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体.如图所示，有一个所有棱长均为的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】补全正四面体，由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O，

由几何法分别求出正四面体的内切球半径以及O到平面ABC的距离，则较小者为截角八面体的内切球半径，最后由圆的表面积公式即可选择.

【详解】如图，补全正四面体，则正四面体的棱长为，

由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O，O在底面的投影为，则平面，

正四面体的内切球半径，外接球半径，正四面体底面上的高，由相似性易得正四面体底面上的高为，

由正三角形的性质，易得的高，则，

则在中，，

，解得，

平面ABC到平面QPN的距离为，所以O到平面ABC的距离为，

故截角八面体的内切球半径亦为R，则截角八面体的内切球的表面积为，

故选：B.