静态场的边值问题.pptVIP

例5-2代入可得例5.2.1图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图5.2.1接地金属槽的截面2)分离变量代入式（1）有根据可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。图5.2.2双曲函数d）比较系数法：当时，（D域内）当时，?满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。?若，图5.2.3接地金属槽内的等位线分布利用sin函数的正交性来确定。等式两端同乘，然后从0到a对x积分?根据经验也可定性判断通解中能否舍去或项。5.2.3圆柱坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界面与圆柱坐标系中某一坐标面一致时，应选择圆柱坐标系。分离出的三个常微分方程：对于轴对称，B=0第二类贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数n阶贝塞尔方程第一类贝塞尔函数01Jn(x)和Nn(x)是第一类及第二类贝塞尔函数，在0~?之间有无数多个零点；In(x)和Kn(x)是虚宗量（或修正）贝塞尔函数，没有实数零点。x?0时，Nn(x)和Kn(x)均发散。虚宗量贝塞尔函数02例5-3代如系数得例5-4半径为a的半无限长金属圆筒，筒底与圆筒壁有很窄的绝缘，圆筒侧壁电位为0，筒底电位为，求圆筒内电位分布。对z轴的对称性，位函数不是坐标变量的函数解：将圆筒置于圆柱坐标系中，其定解问题可表示为且B应为0是零阶贝塞尔函数的第m个根可得电位函数得通解贝塞尔函数的正交性决定系数Am应用贝塞尔函数的积分公式1左边只有m=i项不为02可得3可得电位的解4据贝塞尔第一正交公式圆球坐标系中的分离变量法上式的第一、二项可分离出:连带勒让方程12345上式的第三项可分离出:如果待求场域的边界是球面或锥面时，应选择圆球坐标系。欧拉方程x=cos?当场域包括x=+1、-1即z轴,有：故在子午平面场中，当场域包括z轴,球坐标系中的拉系方程的通解为：第一类勒让德多项式在电磁场的很多实际总是中，位函数与方位角?无关，即m=0,这类场称为子午平面场。在子午平面场中则各分离变量方程的通解为：例5-51）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6）例1.5.2在均匀电场中，放置一根半径为a，介电常数为的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与垂直。柱外是自由空间。试求圆柱内外电位函数和电场强度的分布。根据场分布的对称性图5.2.4均匀电场中的介质圆柱棒2）分离变量,设3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当时，当时，代入式（1）得或4）利用给定边界条件确定积分常数。根据根据，比较系数得当时，根据场分布对称性当时，通解中不含的奇函数项，解之，得比较系数法：当时，得当时，，则最终解c）由分界面的衔接条件，得第五章静态场的边值问题静态场边值问题的基本概念分离变量法有限差分法5.1静态场边值问题的基本概念静电场、恒定电场和恒电磁场都是时不变场，统称静态场。静态场的边值问题：给定某一空间V，其边界为S，已知空间V内源的情况，以及边界S上场的情况，求给定空间内的场。区域内的场满足帕松方程或拉普拉斯方程。边界上的场的情况可由边界条件给出。静态场中的边值问题，都可以归结为在给定的边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。根据唯一性定理，满足给定边值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一确定的。三类边值：狄里赫利、纽曼和混合边值。已知场域边界上各点电位值边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位