【新教材】2022版人教A版数学选择性必修第一册全册分课时教学案(共30课时)（最全）.doc

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第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

素养目标·定方向

课程标准学法解读

1．了解空间向量的概念．(数学抽象)

2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过

1．了解空间向量的概念．程．(逻辑推理)

2．掌握空间向量的线性运算．3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算)

4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象)

必备知识·探新知

mm知识点1空间向量的概念

1．定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量.

2．长度或模：向量的__大小__.

3．表示方法：

(1)几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；

(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，

其模记为|a|或|AB|.

4．几类特殊的空间向量名称

零向量单位向量

相反向量

共线向量(平行向量)

定义及表示

长度为0的向量叫做零向量．记为0 模为1的向量叫做单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或

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重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？

提示：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异.mm知识点2空间向量的线性运算

加法减法

加法

减法

空间向量的线性运算a－b＝OA－

空间向量的线性运算

数乘当λ0时，当λ＜0时，

数乘

λa=λOA＝PQ；

λa=λOA＝MN；

当λ=0时，λa＝0

交换律：a＋b＝b＋a；

运算律结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

运算律

分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a＋b)=λa+λb

思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？

提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ=0?提示：不能.λa＝0λ=0或a＝0.

mm,知识点3共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ,使得__a=λb__.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把__与向量a平行的非零向量__称为直线l的方向向量.思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?

提示：不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.思考5：怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？

提示：只需证明向量AB，BC(不唯一)共线即可.mm知识点

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1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行

于同一个平面的向量，叫做共面向量.

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？

提示：是．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一空间向量及相关概念的理解

典例1给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量

的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1与BC1是相等向量；④在空间四边形ABCD

中，AB与CD是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与AA1的模一定相等的向量一共有4

个．其中正确命题的序号为②③.

[解析]①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；

②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；

③正确，A1与B1的模相等，方向相同；

④错