湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(六)数学试题（解析版）.docx

.

湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）

数学

命题人、审题人：高三数学备课组

时量：120分钟满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接将解出来再化解即可.

【详解】.

故选：D

2.已知集合，，则的元素个数为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用列举法表示集合，利用交集的定义可得出集合，即可得出该集合中元素的个数.

【详解】由题意得，

，

因此，，共个.

故选：C.

【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解答的关键就是利用列举法表示集合，属于基础题.

3.已知函数，则的图象大致为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数可求得在和上的单调性，由此可排除错误选项.

【详解】当时，，则，

在上单调递增，BD错误；

当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，C错误，A正确.

故选：A.

4.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

分析】

设，过点作于点，根据题中条件，得到，，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.

【详解】设，由题意，可得，在中，可得，

过点作于点，则，且，

所以，

所以，，

因此.

故选：A.

5.的展开式中的系数是12，则实数a的值为（）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项式定理将式子展开即可求解.

【详解】利用二项式定理展开得

则的系数为.

故选：C.

6.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，为的中点，面，且，动点在以为球心半径为1的球面上运动，点在面内运动，且，则长度的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】若要使最短，点必须落在平面内，且一定在的连线上，此时应满足四点共线，通过几何关系即可求解

【详解】

如图，当点落在平面内，且四点共线时，距离应该最小，由可得，即点在以为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得，，故

故答案选：C

【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题

7.设，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意构造函数和，利用导数研究函数的单调性可得，进而，则；利用导数研究函数的单调性可得当时，即，则，进而得出结果.

【详解】由，得；

由，得.

设函数，则，

所以函数在上单调递减，故，

即，所以，有，得，

所以，所以；

由，可设函数，

则，所以函数在单调递增，且，

所以当时，，即，即，所以.

综上，.

故选：C

8.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到,由题可得和,结合即可得解.

【详解】因为

若，则，

∴，

则，又，解得.

又，解得.

，解得，，或.

当时，；当时，，可得.

∴.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9.如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（）

A.存在点P，使面

B.二面角的平面角为60°

C.的最小值是

D.P到平面的距离最大值是

【答案】BD

【解析】

【分析】当与点重合时，面，A正确，二面角的平面角为，B错误，，C正确，当与点重合时，P到平面的距离，D错误，得到答案.

【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，A正确；

二面角即二面角，平面角为，B错误；

如图所示：，当共线时等号成立，C正确；

，得到平面，故，同理可得平面，设交平面于，

则，当与点重合时，P到平面的距离，D错误.

故选：BD.

10.定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上的“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（）

A.函数在任意区间上都不可能是“对望函数”

B.函数是上的“对望函数”

C.函数是上