湖南省一中学2022-2023学年高三上学期月考(三)数学试题（解析版）.docx

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长沙市一中2023届高三月考试卷（三）

数学

时量：120分钟满分：150分

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的表示求得集合，按照集合的并集运算即可.

【详解】解：由已知有，

所以.

故选：C.

2.已知复数满足，则的共轭复数为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的运算法则可得，再由共轭复数的概念即可得解.

【详解】由题意，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.

3.过点作圆的切线，则切线方程为（）

A. B.

C.或 D.或

【答案】D

【解析】

【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．

【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，

则，可得，所以，即；

斜率不存在时，，显然与圆相切，

综上，切线方程为或．

故选：D．

4.设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（）

A.当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件

B.当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件

C.当时，“n//”是“”必要不充分条件

D.当时，“”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】A,B,D正确；C错误．异面；

所以当时，是的既不充分又不必要条件.故选C

5.已知，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，利用导数可证明，据此可判断，再由时判断.

【详解】设，则，当时，，

当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，

所以时，，所以，即，

所以，

又，对任意恒成立.

因此，

故选：.

6.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则有，,由平面,可得,从而有,代入计算即可得答案.

【详解】解：以坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则,

所以，

由,可得，

所以,

平面,

所以,

所以,

即，

解得，

当为线段上靠近的四等分点时，平面.

故选:.

7.已知双曲线的左?右焦点分别为，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为（）

A. B. C.2 D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据离心率的定义求解即可.

【详解】如图，

设的外接圆半径为，由，

有，

故，

所以直线过的内心，又点在直线上，所以点为的内心.

由可知，

记，

则由得点在轴上，且，令，则，

且，故.

则双曲线的离心率，

故选：C.

8.已知函数，若存在，使，则的最大值为（）

A.0 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用导数证明，令，则，依题意对任意都成立，即可求出参数的取值范围；

【详解】令，所以，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以恒成立，当时等号成立；

所以，当时等号成立；

当时，

令，

要使得存在，使即可，

即对任意恒成立，所以，解得，

所以的最大值为.

故选：B.

二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知数列满足，则下列结论正确的是（）

A.为等比数列

B.的通项公式为

C.为递减数列

D.的前项和

【答案】AB

【解析】

【分析】由可推得，从而可判断ABC，由分组求和可判断D.

【详解】因为，由题意显然，

变形得，所以，

又因为，

所以是以1为首项，为公比的等比数列，正确；

因为，所以，B正确；

因为递减，所以递增，即为递增数列，C错误；

因为，所以，

所以，所以D错误.

故选：AB.

10.已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（）

A. B. C. D.

【答案】BD

【解析】

【分析】用，配凑出目标角度，结合正弦的和角公式以及同角三角函数关系，即可求得结果.

【详解】为第一象限角，，则，，

故可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则，

为第三象限角，，则，

故只可能为第三象限角，则，

，

当时，，

当时，.

故选：BD.

11.在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（）