2024-2025学年北京市海淀区高三上学期统练（四）数学检测试题.docx

2024-2025学年北京市海淀区高三上学期统练（四）数学检测试题

一.选择题（共10小题）

1.若复数z满足，则（）

A1 B.2 C. D.

2.已知集合，，则等于（）

A. B. C. D.

3.下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）

A. B. C. D.

4.已知两个向量，，且，则的值为（）

A B. C. D.

5.在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（）

A.若，且，则 B.若，且，则

C.若，，，则 D.若，且，则

6.已知向量与向量的夹角为120°，，则（）

A.3 B. C. D.1

7.在中，“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）

A. B. C. D.

9.已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）

A48个月 B.52个月 C.64个月 D.120个月

10.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（）

A.当运动时，二面角的最小值为

B.当运动时，三棱锥体积不变

C.当运动时，存在点使得

D.当运动时，二面角为定值

二.填空题（共5小题）

11.函数的定义域是_____________．

12.在中，，则的面积为___________.

13.在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________．

14.已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．

15.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.

（1）下列函数中具有性质的有___________.

①

②

③，（x∈0,+∞）

④

（2）若函数具有性质，则实数取值范围是___________.

三.解答题（共2小题）

16.在中，，.

（1）求；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.

条件①：，；

条件②：，；

条件③：，边上高为2

注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.

17.已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．