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2024-2025学年北京市海淀区高三上学期统练(四)数学检测试题
一.选择题(共10小题)
1.若复数z满足,则()
A1 B.2 C. D.
2.已知集合,,则等于()
A. B. C. D.
3.下列函数中,在定义域上为增函数且为奇函数的是()
A. B. C. D.
4.已知两个向量,,且,则的值为()
A B. C. D.
5.在下列关于直线与平面的命题中,真命题是()
A.若,且,则 B.若,且,则
C.若,,,则 D.若,且,则
6.已知向量与向量的夹角为120°,,则()
A.3 B. C. D.1
7.在中,“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为()
A. B. C. D.
9.已知某种垃圾的分解率为,与时间(月)满足函数关系式(其中,为非零常数),若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,经过24个月,这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解,至少需要经过()(参考数据:)
A48个月 B.52个月 C.64个月 D.120个月
10.如图,正方体的棱长为2,线段上有两个动点(在的左边),且.下列说法不正确的是()
A.当运动时,二面角的最小值为
B.当运动时,三棱锥体积不变
C.当运动时,存在点使得
D.当运动时,二面角为定值
二.填空题(共5小题)
11.函数的定义域是_____________.
12.在中,,则的面积为___________.
13.在等比数列中,,则公比_______;若,则n的最大值为_________.
14.已知等边的边长为,分别是的中点,则_______;若是线段上的动点,且,则的最小值为_______.
15.对于函数,若在其定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质.
(1)下列函数中具有性质的有___________.
①
②
③,(x∈0,+∞)
④
(2)若函数具有性质,则实数取值范围是___________.
三.解答题(共2小题)
16.在中,,.
(1)求;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得存在且唯一确定,求的面积.
条件①:,;
条件②:,;
条件③:,边上高为2
注:如果选择的条件不符合要求,第二问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当时,;
(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.
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