2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期第三次月考数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期第三次月考数学

检测试题

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．0,4 C． D．

2．已知复数，则（????）

A．2 B． C．1 D．

3．等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（???）

A．24 B．24 C．3 D．3

4．正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

6．已知直线和直线，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（???）

A．8 B．7 C．6 D．5

8．有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（????）

A． B．

C． D．无法确定与的大小关系

二、多选题

9．某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7

根据表中的数据可得到经验回归方程为.，则（????）

A．y与x的样本相关系数

B．

C．表中维修费用的第60百分位数为6

D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

10．函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（????）

A．

B．

C．关于对称

D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数

11．（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（????）

A．点P的轨迹方程是

B．直线是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5

D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

三、填空题

12．在的展开式中，的系数是．

13．椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为.

14．已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是.

四、解答题

15．已知函数为上的奇函数．

(1)求；

(2)若函数，讨论的极值．

16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，.

(1)若是中点，证明：；

(2)若，求平面与平面所成角的正切值.

17．已知双曲线及直线.

(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；

(2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值.

18．在锐角中，内角的对边分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．

19．若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为.

(1)若，，，求的值；

(2)定义数列满足：，，2，3，…，m.

（i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列；

（ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值.

答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

A

D

A

A

C

C

BC

AC

题号

11

答案

ABC

1．B

【分析】利用对数函数的性质确定集合，再利用绝对值的几何意义确定集合，再求.

【详解】由，可得，解得，

所以，

由解得，

所以，

所以=，

故选:B.

2．A

【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解.

【详解】复数，所以.

故选：A.

3．A

【分析】设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解.

【详解】设an的公差为，

由成等比数列，得，

即，解得或（舍去），

所以.

故选：A.

4．D

【分析】利用线面角的定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值.

【详解】连接，如图所示，

为正方体，易得平面，

为直线与平面所成的角，

令，由正方体知识可得，

.

故选：D.