2024-2025学年上海市西中学高二上学期数学月考试卷及答案（2024.12）.docx

PAGE

PAGE1

市西中学2024学年第一学期高二年级数学月考

2024.12

一、填空题(本大题满分36分,共有12题)

1.圆柱的侧面积是，母线长为4，则圆柱的体积为_______.

2.圆锥的侧面积是,母线长为4,则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_______.

3.已知正六棱锥的高为6,底面正六边形的边长为4,则侧面与底面所成锐二面角的大小

为_______.

4.将一个半径为的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和，比原金属球的表面积增加了_______.

5.下列命题中，正确的是_______.

(1)若直线与平面斜交，则平面内不存在与垂直的直线;

(2)若直线平面，则内不存在与不垂直的直线;

(3)若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线;

(4)若直线平面，则内不存在与不平行的直线。

6.已知点,则在方向上的投影为.(用坐标表示)

7.正整数2024有个不同的正约数。

8.有5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为_______.

9.在的二项展开式中，常数项为_______.

10.已知是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_______.

11.如图所示，在长方体中，，点分别是棱的中点,已知动点在长方体的表面上,且满足,则动点轨迹的长度为_______.

12.中国古代数学名著《九章算术》中记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也，意思是说，底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱。刍甍是茅草屋顶，现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______.

二、选择题(本大题满分12分,共有4题）

13.已知是锐角，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为是直线与平面所成角的大小为的（）条件。

A.充分非必要；B.必要非充分；C.充分必要；D.既非充分又非必要条件.

14.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动,若每天从这5人中安排2人参加,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）种

A.30;B.50; C.60; D.80.

15.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）

A.若,则;B.若,则;

C.若,则;D.若,则.

16.如图,在棱长为1的正方体中,为棱的中点,为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）

A.若平面,则动点的轨迹是一条线段;

B.存在点,使得平面;

C.当且仅当点落在棱上某点处时,三棱锥的体积最大；

D.若,那么点的轨迹长度为.

三、解答题(本大题满分52分，共有5题）

17.(本题8分)如图，PA、PB、PC为圆锥的三条母线，且，

(1)(4分)证明:;

(2)(4分)若圆锥的侧面积为为底面直径,,求二面角B-PA-C的大小。

18.(本题10分)如图，复兴桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根坚直的立柱吊起一块圆环状的桥面，主梁在桥面上方相交于点且它

们所在的平面互相垂直，在桥面上的射影为桥面的中心,主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道，设为其中的一根立柱，为主梁与桥面大圆的连接点，

(1)(5分)求证:平面;

(2)(5分)设为经过的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为，桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时,求点到地面的距离.

19.(本题10分)设的二项展开式为,其中均为常数，

(1)(5分)若,求的值;

(2)(5分)若对一切均成立,求的取值范围.

20.(本题12分)如图1所示,ABCD是水平放置的矩形,,如图2所示,将ABD沿矩形的对角线BD向上翻折，使得平面平面BCD，

(1)(4分)求四面体ABCD的体积V;

(2)试判断并证明以下两个问题:

①(4分)在平面BCD上是否存在经过点C的直线,使得;

②(4分)在平面BCD上是否存在经过点C的直线,使得.

21.(本题12分)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设M是的中点,满足是BC的中点,P是线段上的一点，

(1)(4分)证明:平面；

（2）