北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）.docx

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北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，则（????）

A． B． C． D．

2．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

3．与直线关于x轴对称的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

4．已知圆与圆外切，则（????）

A． B． C．7 D．13

5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

7．在空间直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．3

8．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）.由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（????）

A． B． C． D．

10．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是（????）

A．存在点Q，使得BQ平面

B．在棱上存在点Q，使得平面

C．在线段上存在点，使得直线与所成的角为

D．存在点，使得三棱锥的体积为2

二、填空题

11．已知平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，若，则.

12．直线：被圆：截得的弦AB的长为.

13．在棱长为2的正四面体中，M，N分别是的中点，则.

14．已知点，直线，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为；若直线及分别与曲线C交于异于原点的M，N两点.当直线MN过点F时，.

15．已知方程所表示的曲线为C.给出以下四个结论：

①曲线C与y轴有两个不同交点；

②曲线C关于原点对称；

③x轴及直线为曲线C的两条渐近线；

④若曲线C与圆有公共点，则r的最小值为.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题

16．已知数列是等差数列，，且.

(1)求的通项公式；

(2)求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.

17．已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程.

18．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为.

(1)求直线l的斜率；

(2)若，求的值.

19．如图，四棱锥中，底面ABCD，，平面，.

??

(1)证明：；

(2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．

条件①：点B到平面PAC的距离为1；

条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.

20．已知椭圆过点，长轴长为4.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D.求证：直线AD过定点.

21．已知无穷数列各项均为正数，且.

(1)请判断如下两个结论是否正确：

①；②；

(2)当时，证明：；

(3)记数列的前项和为，若，证明：.

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《北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

C

A

A

C

A

C

D

1．A

【分析】根据空间向量坐标的加减和数乘运算法则直接计算即可.

【详解】因为，，则.

故选：A.

2．C

【分析】根据直线方程求得斜率，进而得到，即可求解.

【详解】由直线，可得斜率为，

设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.

故选：C.

3．B

【分析】设对称直线上的点为，求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程.

【详解】设对称直