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弯曲变形-扭转-例题

一、弯曲变形基本概念

(1)弯曲变形是指在外力作用下，构件的横截面发生曲率变化，导致构件产生弯曲的现象。这种变形通常出现在梁、板、壳等受弯构件中。根据弯曲变形的程度，可以将其分为线性弯曲和非线性弯曲。线性弯曲是指变形与载荷成正比，即满足胡克定律；而非线性弯曲则是指变形与载荷的关系不遵循胡克定律。在工程实践中，弯曲变形是一个常见的问题，例如，桥梁、高层建筑和机械结构中的梁、板等构件都会经历弯曲变形。

(2)弯曲变形的计算通常基于材料力学中的弯曲理论。其中，欧拉梁理论是最基础且广泛应用的弯曲理论之一。欧拉梁理论假设材料是均匀的、各向同性的，且在弹性范围内变形满足线性关系。根据欧拉梁理论，弯曲构件的弯曲应力可以用弯曲矩M和惯性矩I来计算，公式为σ=My/I，其中σ为弯曲应力，M为弯曲矩，I为惯性矩。此外，弯曲变形还可以用曲率κ和长度l来表示，曲率κ定义为曲率半径的倒数，即κ=1/r，其中r为曲率半径。对于简单的梁结构，弯曲变形y可以表示为y=(Ml^3)/(3EI)，其中E为材料的弹性模量。

(3)实际工程中，弯曲变形的计算需要考虑多种因素，如材料属性、截面形状、载荷分布和支座条件等。例如，一根简支梁在均布载荷作用下，其最大弯曲应力出现在梁的中点，而最大弯曲变形则出现在支座处。在计算弯曲变形时，还需考虑材料非线性、几何非线性以及载荷非线性等因素。例如，当材料进入塑性状态时，其应力与应变关系不再线性，这将导致弯曲变形的计算结果与实际情况存在偏差。因此，在实际工程中，需要根据具体情况选择合适的计算方法和理论模型。

二、扭转的基本原理

(1)扭转是指在外力矩作用下，构件的横截面发生旋转的现象。在工程实践中，扭转现象广泛存在于机械结构、桥梁、车辆等众多领域。扭转变形的基本原理涉及扭矩、扭转应力、扭转角和扭转刚度等概念。当一根细长杆件受到扭矩T的作用时，其横截面将产生相应的扭转角θ。扭转角θ与扭矩T和杆件的长度l以及扭转刚度GIp成正比，即θ=(Tl)/(GIp)。其中，G为剪切模量，I为杆件的极惯性矩，p为杆件的横截面半径。

(2)扭转应力的计算是扭转基本原理的核心内容之一。在扭转过程中，杆件内的剪切应力τ在横截面上是均匀分布的。根据剪切应力公式τ=(Tt)/(J)，其中t为距离杆件中心线的距离，J为横截面的极惯性矩。当杆件受到的扭矩超过其抗扭能力时，将产生塑性变形或断裂。在实际工程中，需要根据杆件的材料特性和截面形状来计算其抗扭截面模量Wp，以确定杆件的最大许用扭矩。抗扭截面模量Wp与横截面的极惯性矩J和横截面半径t的关系为Wp=J/t。

(3)扭转刚度是衡量杆件抵抗扭转变形能力的重要参数。它取决于杆件的几何尺寸、材料性能和约束条件。在工程中，扭转刚度可以通过以下公式计算：K=(GIp)/l，其中K为扭转刚度，G为剪切模量，I为杆件的极惯性矩，l为杆件的长度。扭转刚度越大，杆件抵抗扭转变形的能力越强。在设计过程中，需要根据扭转刚度来选择合适的材料和截面形状，以确保结构的安全性和可靠性。此外，在实际应用中，还需要考虑温度、湿度等因素对扭转刚度的影响，以确保计算结果的准确性。

三、弯曲-扭转耦合问题的例题解析

(1)考虑一个简支梁，两端受到均布载荷作用，同时在一端还受到一个扭矩T的作用。梁的长度为L，横截面为圆形，直径为d。首先，需要计算梁在弯曲和扭转作用下的应力分布。通过应用弯曲和扭转的公式，可以计算出梁的最大弯曲应力σ弯曲和最大扭转应力τ扭转。σ弯曲=(F*L^3)/(3*d^3)，τ扭转=(T*d)/(2*I_p)，其中F为均布载荷，I_p为横截面的极惯性矩。

(2)在实际计算中，需要考虑弯曲和扭转之间的耦合效应。当梁同时承受弯曲和扭转载荷时，弯曲和扭转的应力会相互影响。为了分析这种耦合效应，可以使用能量法或者有限元法进行求解。以能量法为例，可以通过将梁的弯曲和扭转势能相加，并令其对扭矩或载荷的变化率等于零，来求解耦合问题的平衡方程。

(3)在得到弯曲和扭转耦合问题的解后，可以进一步分析梁的变形情况。通过求解弯曲和扭转变形的方程，可以得到梁的最大弯曲变形y和最大扭转角θ。对于简支梁，y=(F*L^3)/(6*d^3)，θ=(T*L)/(2*G*I_p)，其中G为剪切模量。通过这些结果，工程师可以评估结构的安全性，并采取必要的加固措施。例如，在桥梁设计中，通过优化截面形状和材料，可以减少梁在耦合载荷作用下的变形。