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小学奥数专题之——————数阵图

数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有

正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：

1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，

答案往往不是唯一的。

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1.10.5.2辐射型数阵

例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15

题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的

一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，

按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

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解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了

2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3

其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝3030÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成

三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。

例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。

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解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两

次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3

（

其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a＝1时，55＋2a＝57，57÷3

＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，

即：9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），

也不能满足条件。因此，确定a只能填4。

例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。

解：1～9九个数字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45，把45平分成两份：45÷2＝22余1。

这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3……。

总之，因45÷2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题

可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。

例5将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。

解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。

1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4

次，填1恰符合条件。

此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数

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