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材料力学第六章弯曲应力

一、弯曲应力的基本概念

(1)弯曲应力是材料力学中的一个重要概念，它描述了在弯曲载荷作用下，材料内部产生的应力状态。在工程实践中，许多结构如桥梁、建筑物的梁、柱等都会受到弯曲载荷的作用，因此研究弯曲应力对于保证结构的安全性和可靠性至关重要。例如，在桥梁设计中，若不考虑弯曲应力的影响，可能会导致桥梁在承载过程中出现裂缝或断裂，从而引发安全事故。

(2)弯曲应力主要发生在梁的横截面上，其大小和分布情况与梁的截面形状、材料性质、载荷类型及加载位置等因素密切相关。以矩形截面梁为例，当梁承受集中载荷时，梁的横截面将产生弯矩，进而导致弯曲应力。根据材料力学的理论，梁的弯曲正应力公式为$\sigma=\frac{My}{I}$，其中$\sigma$表示弯曲正应力，$M$为弯矩，$y$为截面形心到中性轴的距离，$I$为截面惯性矩。通过这个公式，可以计算出梁在特定位置的最大正应力，从而为梁的设计提供依据。

(3)实际工程中，梁的弯曲应力可能同时受到拉伸应力和压缩应力的影响。以悬臂梁为例，当梁的自由端受到集中载荷作用时，梁的截面将产生拉应力和压应力。在这种情况下，需要同时考虑梁的拉压强度和剪切强度。根据相关规范，梁的设计应满足以下条件：弯曲正应力$\sigma$不超过材料的许用应力$\sigma_{\text{允许}}$，剪切应力$\tau$不超过材料的许用剪切应力$\tau_{\text{允许}}$。通过合理选择材料、优化截面形状和尺寸，可以有效地控制梁的弯曲应力，确保结构的安全性。

二、梁的弯曲变形及截面中性层

(1)梁的弯曲变形是材料力学研究的重要内容之一，它描述了梁在受到弯曲载荷作用时，其几何形状和尺寸发生的变化。根据变形的程度，梁的弯曲变形可分为小变形和大变形。在小变形条件下，梁的弯曲变形可以用微分方程来描述，并且变形后的几何形状可以近似地认为是连续的。例如，一根长度为L、截面惯性矩为I的简支梁，当其自由端受到集中载荷F的作用时，其弯曲变形可以用弯曲曲线方程$y=\frac{FL^3}{3EI}$来计算，其中y为梁的最大弯曲位移。

(2)在梁的弯曲变形过程中，截面的中性层是一个重要的几何概念。中性层是指在梁的弯曲变形中，各点沿中性轴方向的线位移为零的层。中性轴是梁横截面上的一条轴，其上各点的正应力和剪应力均为零。中性层的位置与梁的截面形状和尺寸密切相关。以矩形截面梁为例，中性层位于梁的中间位置，且与横截面的几何中心重合。在实际工程中，中性层的确定对于分析梁的弯曲应力和变形至关重要。例如，在桥梁设计时，通过确定中性层的位置，可以计算出梁的最大正应力和最大剪应力，从而为桥梁的安全性评估提供依据。

(3)在梁的弯曲变形过程中，截面中性层上的点在弯曲变形后，其线位移为零，但会产生相应的角位移。这种角位移被称为曲率，它是描述梁弯曲变形程度的一个重要参数。曲率可以用曲率半径$\kappa$来表示，其定义为曲线上任意一点切线到中性层的距离与该点弧长的比值。曲率半径越小，梁的弯曲变形越明显。例如，在桥梁设计中，为了提高桥梁的舒适性，需要控制梁的曲率半径，使其在一个合理的范围内。通过优化梁的截面形状和尺寸，可以有效地控制梁的曲率半径，从而保证桥梁在承载过程中的稳定性和舒适性。

三、梁的纯弯曲及弯曲正应力公式

(1)梁的纯弯曲是指梁仅受到弯矩作用时的弯曲状态，此时梁的轴线变形为曲线，而梁的横截面保持平面，且垂直于变形后的轴线。在纯弯曲状态下，梁的弯曲变形可以用曲率半径和曲率来描述。曲率半径$\rho$是指梁变形后轴线曲率圆的半径，曲率$\kappa$是曲率半径的倒数，即$\kappa=\frac{1}{\rho}$。曲率和曲率半径是分析梁弯曲变形的关键参数。

(2)在梁的纯弯曲情况下，根据材料力学的基本理论，梁的弯曲正应力可以通过弯曲正应力公式来计算。该公式为$\sigma=\frac{My}{I}$，其中$\sigma$表示弯曲正应力，$M$是作用在梁上的弯矩，$y$是截面形心到所求点的距离，$I$是截面的惯性矩。惯性矩是描述截面抵抗弯曲变形能力的重要几何参数，其值取决于截面的形状和尺寸。例如，对于矩形截面，其惯性矩$I$可以表示为$I=\frac{bh^3}{12}$，其中$b$和$h$分别是截面的宽度和高度。

(3)在实际工程应用中，梁的纯弯曲正应力计算对于确保结构的安全性具有重要意义。例如，在设计桥梁的梁时，需要根据所承受的载荷和梁的几何尺寸，计算出梁的最大弯曲正应力，以确保梁在载荷作用下的安全。通过合理选择梁的截面形状和尺寸，可以减小最大弯曲正应力，从而提高梁的承载能力和安全性。在实际计算中，还需要考虑材料的弹性模量$E$和屈服强度$\sigma_{\text{屈服}}$，以确保梁在受力