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大题规范练5
1.(2023·江苏省镇江中学模拟)在①ccosA=3asinC;②(a-b)(sinA+sinB)=(c-3b)sin
3
C;③3bcosA+acosB=b+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问
题.
问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足________________.
(1)求角A的大小;
33
(2)若D为线段CB延长线上的一点,且CB=2BD,AD=,AC=2,求△ABC的面积.
解(1)若选择①,
3
∵ccosA=asinC,
∴sinCcosA=3sinAsinC,
∵sinC≠0,∴cosA=3sinA,
3
即tanA=,
3
∵A∈(0,π),
π
∴A=.
6
若选择②,
3
∵(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,
∴(a-b)(a+b)=c(c-3b),
222
∴a-b=c-3bc,
222
∴a=b+c-3bc,
222
b+c-a3bc3
cosA===,
2bc2bc2
π
∵A∈(0,π),∴A=.
6
若选择③,
∵3bcosA+acosB=3b+c,
∴3sinBcosA+sinAcosB=3sinB+sinC,
∴3sinBcosA+sinAcosB=3sinB+sin(A+B),
∴3sinBcosA+sinAcosB=3sinB+sinAcosB+cosAsinB,
3
∴2sinBcosA=sinB,
又∵B∈(0,π),
∴sinB≠0,
3
∴cosA=,
2
π
∵A∈(0,π),∴A=.
6
(2)设BD=x,AB=y,∠ABD=θ,
222
在△ABC中,用余弦定理可得AC=BC+BA-2BC·BAcos∠ABC,
22
即12=4x+y-2×2xycos(π-θ),①
222
又∵在△ABC中,BC=AC+AB-2AC·ABcos∠CAB,
22
即4x=12+y-2×23ycos∠CAB,
2
222y-6y+12
即4x=y-6y+12,即x=.②
4
222
在△ABD中,用余弦定理可得AD=BD+BA-2BD·BAcos∠ABD,
22
即3=x+y-2xycosθ,③
22
③×2+①可得6x+3y=18,
将②式代入上式可得y=2,
1
3
∴S△ABC=AB·ACsin∠CAB=.
2
4
2
2.(2023·邯郸模拟)如图,三棱锥S-A
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