山东省淄博市2024-2025学年高三上学期期末摸底质量检测（1月）数学试卷(含答案).docxVIP

山东省淄博市2024-2025学年高三上学期期末摸底质量检测（1月）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．若，则复数z的虚部是()

A. B. C. D.

2．已知向量，，若，则()

A. B.3 C.4 D.

3．已知集合，集合，则子集的个数为()

A.1 B.2 C.4 D.8

4．已知，，则的值为()

A. B. C. D.

5．若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则圆柱、圆锥、球的体积之比为()

A. B. C. D.

6．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是()

A. B. C. D.

7．把函数的图像向右平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图像，则函数的零点的个数为()

A.0 B.1 C.2 D.3

8．设函数.若，则的最小值为()

A. B. C.e D.

二、多项选择题

9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则()

A.若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

10．设公比为q的等比数列前n项的积为，则()

A.若，则

B.若，则必有

C.若，，则有最大值

D.若，则数列一定是等差数列

11．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则()

A.莱洛三角形的周长为

B.以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为

C.点P为弧上的一点，则的最小值为

D.点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为

三、填空题

12．的展开式中，常数项为__________.

13．已知数列中，，，（，），则__________.

14．已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于__________.

四、解答题

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且.

(1)求证：为等边三角形；

(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值.

16．某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：

①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；

②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为.两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响.

(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；

(2)求乙获得“智慧星”称号的概率.

(3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件M发生的概率.

17．如图，三棱柱中，，，，点M，N分别为AC，AB的中点，且，.

(1)证明：平面ABC；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知函数，曲线在点处的切线与曲线相切.

(1)求a

(2)若函数，且曲线关于直线对称，

(i)求m和n的值；

(ii)证明：.

19．已知数列，从中选取第项、第项、…第项，若，则称新数列，，…，为的长度为t的递增子列.规定：数列的任意一项都是长度为1的递增子列.

(1)写出数列2，8，4，7，5，9一个长度为3的递增子列和一个长度为4的递增子列；

(2)已知数列的长度为p的递增子列的末项的最小值为x，长度为q的递增子列的末项的最小值为y.若，证明：；

(3)设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若长度为s的递增子列末项的最小值为，且长度为s末项为的递增子列恰有个（），

(i)证明：1，2，3，4，5，6，7这7个数都在数列中；

(ii)写出数列通项公式（不证明）.

参考答案

1．答案：B

解析：因为，则，

所以复数z的虚部是.

故选：B.

2．答案：A

解析：向量，，

因为，所以，解得，

所以，所以，

故选：A

3．答案：B

解析：因为集合，

且，，

可得，

所以子集的个数为2.

故选：B.

4．答案：C

解析：因为，

可得，

又因为，

可得，

所以.

故选