精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高一下学期第一次学情调查数学试题（原卷版）.docxVIP

高一下学期第一次学情调查数学试卷

一、单选题（每小题4分，共40分）

1.化简

等于（

）

A.

B.

C.

D.

2.已知向量

A.

，

，

，若

，则

（

）

B.

B.

B.

C.3

D.0

3.已知复数z满足

，则复数z的虚部为

A.

C.

D.

4.在

中，

，则

在

方向上的投影向量是（

）

A.

C.

D.

5.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为

，则圆锥的表面积为（

）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

6.若

、

、为三条不同的直线，

、

为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）

A.如果

B.如果

，

，

，则

，

，

，则

C.如果

D.如果

，

，则

，

，

，则

7.如图，测量河对岸的塔高

时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点

与

，测得

）

，并在点测得塔顶的仰角为

，则塔高

等于（

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A.

B.

C.

D.

8.如图，在长方体

中，已知

为

的中点，则异面直线

与

所成角的余弦值为（

）

A.

B.

C.

D.

9.在

中，点满足

，过点

直线与

、

所在的直线分别交于点

、

，若

，

，则的最小值为

A.

B.

C.

D.

10.在梯形

中，

，动点

）

和

分别在线段

和

上，且

，则

的取值范围为（

A.

B.

C.

D.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.设是虚数单位，

，则

____________．

12.在

13.在

中，角

中，角

对边分别为

对边分别为

，则

的面积为

____________．

，且

，

，则

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____________．

14.

庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“

”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，

，则____________．

15.如图

中，

，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边

上，

半圆与

分别相切于点

，交

于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的

体积为____________．

16.在锐角

中，角

的对边分别为

，若

，且满足

，

则

的取值范围为____________．

三、解答题（每小题12分，共36分）

17.在

中，角

的对边分别为

，若

，其中

，

（1）求角的大小；

（2）若

的面积为

．

①求

②求

值；

的值．

18.在四棱锥

中，底面

为平行四边形，为底面中心，

分别为

的中点，

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为等腰直角三角形，且

．

（1）求证：

（2）求异面直线

（3）若分为

平面

；

与

所成角的余弦值；

的中点，点在线段

上，且

．求证：平面

平面

．

（注：只能使用几何法，其他方法一律不给分）

19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，

使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当

的三个内角均

小于

于

时，使得

的点即为费马点；当

有一个内角大于或等

时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知

，

的内角

所对的边

分别为

（1）若

，

①求

②若

；

，设点

为

的费马点，求

，设点

；

（2）若

为

的费马点，

，求实数的最小值．

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