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弹性力学第八章薄板弯曲

一、薄板弯曲的基本概念

薄板弯曲是弹性力学中的一个重要分支，主要研究在弯曲载荷作用下，薄板的应力、应变和变形规律。薄板弯曲问题在工程实践中具有广泛的应用，如飞机机翼、桥梁、船舶船体等结构在受到载荷作用时，都会产生弯曲变形。在薄板弯曲理论中，通常假设板的厚度远小于其横向尺寸，因此可以忽略厚度方向上的变形，将问题简化为二维问题。

薄板弯曲的基本方程可以通过将板的弯曲变形表示为位移函数来建立。设板的挠度为w(x,y)，其中x和y分别为板的横向坐标。根据弯曲变形的几何关系，可以推导出薄板的弯矩方程和剪力方程。弯矩方程描述了弯矩与挠度之间的关系，而剪力方程则描述了剪力与挠度之间的关系。这两个方程通常以偏微分方程的形式给出，具体为：

\[\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}=\frac{M}{Eh}\]

\[\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2}=\frac{Q}{Eh}\]

其中，M是弯矩，Q是剪力，E是材料的弹性模量，h是板的厚度。这些方程需要结合板的边界条件进行求解，以得到具体的位移分布。

在薄板弯曲问题中，板的边界条件通常包括位移边界条件和力边界条件。位移边界条件规定板的边界位移，如自由边界、固定边界等。力边界条件则规定板在边界上的载荷分布，如均匀分布载荷、集中载荷等。不同的边界条件会导致不同的弯曲变形和应力分布。例如，对于一个两端简支的矩形薄板，当受到均匀分布载荷作用时，板的挠度分布可以用以下公式表示：

\[w(x,y)=\frac{q}{2Eh}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^3-\left(\frac{y}{b}\right)^3\right]\]

其中，q是单位面积上的载荷，a和b分别是板的长度和宽度。通过这个公式，可以计算出板在任意位置处的挠度值。

在实际工程应用中，薄板弯曲问题往往需要通过数值方法进行求解。例如，有限元方法（FiniteElementMethod，FEM）是一种常用的数值方法，它将薄板划分为若干个单元，在每个单元内求解局部方程，然后将各单元的解进行组装，得到整个薄板的位移分布和应力分布。有限元方法在航空、船舶、建筑等领域得到了广泛应用，为工程设计和分析提供了有力的工具。

二、薄板的几何性质与边界条件

(1)薄板的几何性质主要包括板的尺寸、形状和厚度。板的尺寸通常用长度和宽度来描述，例如，一个长为2米，宽为1米的矩形薄板。板的形状可以是矩形、圆形或其他复杂形状。在工程实践中，矩形薄板是最常见的形状，因为它们易于制造和安装。板的厚度通常远小于其长度和宽度，例如，厚度可能仅为几毫米。这种尺寸关系使得薄板弯曲问题可以简化为二维问题。

(2)薄板的边界条件是解决薄板弯曲问题的关键因素之一。边界条件决定了板的位移和应力分布。常见的边界条件包括自由边界、固定边界、简支边界和混合边界。例如，在桥梁设计中，桥面板的边界条件可能是一端固定，另一端自由，这种简支边界条件使得桥面板在载荷作用下产生弯曲变形，而变形量可以通过计算得到。以一个长为10米的简支梁为例，当受到集中载荷作用时，其最大挠度可以通过以下公式计算：

\[w_{max}=\frac{F\cdotl^4}{8\cdotE\cdotI}\]

其中，F是载荷，l是梁的长度，E是材料的弹性模量，I是梁的惯性矩。

(3)在实际工程中，薄板的边界条件可能非常复杂，需要根据具体情况进行确定。例如，在船舶设计中，船体板的边界条件可能包括部分固定和部分自由，这种混合边界条件需要通过有限元分析来确定板的位移和应力分布。以一艘长为100米的货船为例，其船体板的边界条件可能是一端固定，另一端自由，中间部分部分固定。在这种情况下，可以通过有限元分析软件如ANSYS或ABAQUS来模拟船体板的弯曲行为，并得到详细的应力分布和变形情况，为船舶的安全性和耐久性提供保障。

三、薄板弯曲的基本方程与求解方法

(1)薄板弯曲的基本方程是建立在弹性力学基础上的偏微分方程组，主要用于描述薄板在载荷作用下的应力和变形。这些方程包括弯矩方程、剪力方程和挠度方程。弯矩方程通常表示为：

\[\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}=\frac{M}{Eh}\]

其中，\(w(x,y)\)是板的挠度，\(M\)是弯矩，\(E\)是材料的弹性模量，\(h\)是板的厚度。剪力方程和挠度方程则分别描述了剪力和挠度之间的关系。

(2)薄板弯曲问题的求解方法有多种，包括解析方法、数值方法和半解析方法。解析方法主要适用于简单边界条件下的薄板问题，如矩形薄板在