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第十四讲薄板小挠度弯曲(一)汇总

一、薄板小挠度弯曲概述

薄板小挠度弯曲是结构力学中一个重要的研究课题，它涉及到板材在受到载荷作用时产生的变形问题。在工程实践中，许多结构元件，如桥梁、建筑物的屋面板等，都承受着不同程度的弯曲应力。薄板小挠度弯曲理论正是为了研究这些结构元件在受到外力作用时，其表面的弯曲程度如何影响整体结构的稳定性和安全性。

薄板小挠度弯曲问题的研究，首先要明确什么是薄板以及何为小挠度。薄板通常指的是厚度与长度或宽度相比非常小的板材，这种板材的厚度远小于其平面尺寸。小挠度则是指薄板在受力后，其最大弯曲程度相对于其原始厚度来说是微小的。在这样的条件下，薄板的弯曲问题可以用线性理论来近似求解。

在薄板小挠度弯曲的研究中，常用的理论方法包括弹性力学、材料力学以及结构力学的基本原理。弹性力学提供了求解弯曲问题的基本方程，这些方程描述了薄板在受到载荷作用时，其表面的位移场和应力场。材料力学则研究了薄板的材料属性，如弹性模量和泊松比等，这些参数对于确定薄板的弯曲刚度至关重要。结构力学则将这些理论应用于实际工程问题中，如计算结构在载荷作用下的位移、应力以及变形等。

薄板小挠度弯曲问题的研究具有重要的理论意义和工程价值。理论上，通过对薄板弯曲问题的深入理解，有助于丰富和完善结构力学的基本理论体系。在工程实践中，合理的分析和设计能够确保薄板结构在承受载荷时的稳定性和安全性，从而在桥梁、建筑以及航空航天等众多领域发挥重要作用。

二、薄板小挠度弯曲的基本方程

薄板小挠度弯曲的基本方程是弹性力学中描述薄板弯曲变形的重要工具。这些方程基于线性理论，适用于小挠度、小应变的情况。在推导过程中，通常假设薄板的厚度远小于其平面尺寸，从而忽略厚度方向上的变形。

(1)薄板小挠度弯曲的基本方程包括弯曲位移方程、应力方程和应变方程。弯曲位移方程描述了薄板在载荷作用下的弯曲变形，其表达式为：

\[w=\frac{Fy}{D}\left(\frac{x^3}{12}-\frac{y^3}{12}\right)\]

其中，\(w\)表示薄板的弯曲位移，\(F\)表示作用在薄板上的载荷，\(y\)表示载荷作用点到薄板中心的距离，\(D\)表示薄板的弯曲刚度。以一个长为\(2a\)，宽为\(b\)的矩形薄板为例，当在板中心施加均布载荷\(q\)时，其弯曲位移\(w\)可以通过上述方程计算得出。

(2)应力方程描述了薄板在弯曲过程中的应力分布。对于薄板小挠度弯曲问题，正应力\(\sigma\)和剪应力\(\tau\)的表达式分别为：

\[\sigma=\frac{My}{I}\]

\[\tau=\frac{VQ}{I}\]

其中，\(M\)表示弯矩，\(V\)表示剪力，\(Q\)表示剪力矩，\(I\)表示薄板的惯性矩。以一个长为\(2a\)，宽为\(b\)的矩形薄板为例，当在板中心施加均布载荷\(q\)时，其最大正应力\(\sigma\)和最大剪应力\(\tau\)分别为：

\[\sigma_{\text{max}}=\frac{qa^3}{3I}\]

\[\tau_{\text{max}}=\frac{qa^2b}{2I}\]

(3)薄板小挠度弯曲的边界条件是求解弯曲问题的重要依据。常见的边界条件包括固定端、自由端和简支端等。以一个长为\(2a\)，宽为\(b\)的矩形薄板为例，当其在两端固定时，其边界条件可以表示为：

\[w(0,y)=0\]

\[w(a,y)=0\]

\[\frac{\partialw}{\partialx}(0,y)=0\]

\[\frac{\partialw}{\partialx}(a,y)=0\]

这些边界条件确保了薄板在两端固定时的稳定性和安全性。在实际工程应用中，通过对薄板小挠度弯曲问题的求解，可以评估结构在载荷作用下的性能，为结构设计和优化提供理论依据。

三、薄板小挠度弯曲的边界条件

(1)薄板小挠度弯曲的边界条件是指薄板在结构上的固定方式，它直接影响着薄板的变形和应力分布。常见的边界条件包括固定端、自由端和简支端。固定端边界条件要求薄板在该处既不能发生位移也不能转动，这种边界条件下，薄板在固定端的位移和转角均为零。例如，在桥梁的支座处，通常采用固定端边界条件。

(2)自由端边界条件意味着薄板在该处没有任何约束，可以自由变形。在自由端，薄板的位移和转角不受限制，这种边界条件常见于桥梁的悬臂端。在自由端边界条件下，薄板可以承受较大的载荷而不会发生破坏。

(3)简支端边界条件是薄板边界条件中的一种，它要求薄板在端部既不能发生位移也不能转动，但在端部之间存在一定的自由度。简支端边界条件下，薄板在端部的位移为零，但可以转动。在实际工程中，许多梁和板结构都采用简支端边界条件，如房屋的楼板和屋顶结构。这种边界条