第六章弯曲应力(习题解答).docxVIP

PAGE

1-

第六章弯曲应力(习题解答)

6.1弯曲应力基本概念

(1)弯曲应力是指在材料或构件受到外部弯曲力作用时，内部产生的应力。这种应力通常出现在梁、板、壳等承受弯曲载荷的结构中。弯曲应力的大小和分布与材料的弹性模量、截面形状和尺寸、载荷分布等因素密切相关。在工程实践中，准确地计算和评估弯曲应力对于保证结构的安全性和可靠性至关重要。

(2)当一个梁受到弯曲载荷时，其截面上的应力分布通常是非均匀的。在梁的中性轴处，应力为零；而在梁的上下边缘，应力达到最大值。这种应力分布可以用应力分布图来描述。例如，对于矩形截面梁，其最大弯曲应力出现在梁的上下边缘，其计算公式为σ=My/I，其中M是弯矩，I是截面的惯性矩。

(3)在实际应用中，弯曲应力的计算需要考虑多种因素。以一个简支梁为例，当梁两端受到集中载荷时，梁的中间部分将承受最大的弯曲应力。假设简支梁的长度为L，载荷大小为F，根据材料力学的基本理论，梁的最大弯曲应力可以计算为σ=3FL/(2I)，其中I为梁截面的惯性矩。这一计算公式为工程技术人员在设计结构时提供了重要的理论依据。

6.2弯曲应力计算公式推导

(1)弯曲应力的计算公式推导是基于材料力学的平衡方程和变形协调方程。首先，我们假设一个受弯的矩形截面梁，在梁的某一段长度内，存在一个微小的弯矩变化dM。根据梁的几何形状和材料属性，可以推导出该梁的曲率半径ρ。曲率半径与弯矩之间的关系可以表示为ρ=dθ/dx，其中dθ是梁的微小角度变化，dx是相应的微小长度变化。

(2)在梁的截面内，弯曲应力的分布是沿着梁的纵向（垂直于中性轴）变化的。根据材料力学中的胡克定律，弯曲应力σ与梁的曲率半径ρ以及材料的弹性模量E之间存在线性关系，即σ=My/EI，其中M是弯矩，I是截面的惯性矩。通过微分方法，可以进一步推导出弯曲应力的表达式，即σ=M*y/I，其中y是截面内某点到中性轴的距离。

(3)对于复杂形状的截面，弯曲应力的计算需要利用积分方法。具体而言，需要计算出截面关于中性轴的惯性矩I以及中性轴的位置。通过将弯矩M沿着中性轴的积分，可以得到截面上任一点处的弯矩分布。进一步地，将弯矩分布代入到弯曲应力公式中，即可得到该点处的弯曲应力值。这种积分方法通常涉及到数学上的微积分运算，包括积分和微分的应用，对于保证计算结果的准确性具有重要意义。

6.3梯形截面梁的弯曲应力计算

(1)梯形截面梁在工程结构中应用广泛，如桥梁、机械臂等。由于其截面形状的特殊性，梯形截面梁的弯曲应力计算相对复杂。以一个宽度为b，高度为h的等腰梯形截面梁为例，当梁受到垂直于底边的载荷F作用时，其弯曲应力可以通过以下步骤进行计算。首先，确定梁的中性轴位置，对于等腰梯形截面，中性轴位于底边和顶边中点的连线上。接着，计算截面的惯性矩I，对于等腰梯形截面，I=(b*h^3)/12。然后，根据载荷F和弯矩M的关系，M=F*(h/2)，计算最大弯矩M。最后，利用公式σ=My/I，计算最大弯曲应力σ，例如，若b=100mm，h=200mm，F=100kN，则σ=100*100*200/12=1666.67MPa。

(2)在实际工程中，梯形截面梁的弯曲应力计算还需要考虑剪切力的影响。当梯形截面梁受到斜向载荷作用时，除了弯曲应力外，还会产生剪切应力。剪切应力τ可以通过公式τ=V*y/I_t计算，其中V是剪力，y是截面内某点到中性轴的距离，I_t是截面的抗扭截面模量。以一个宽度为b，高度为h的等腰梯形截面梁为例，其抗扭截面模量I_t=(b*h^3)/3。例如，若b=100mm，h=200mm，V=50kN，则τ=50*100*200/3=333.33MPa。

(3)在梯形截面梁的弯曲应力计算中，还需要考虑梁的支承条件对弯矩分布的影响。以一个简支梯形截面梁为例，当梁两端受到集中载荷作用时，其弯矩分布呈抛物线形状。在这种情况下，梁的最大弯曲应力通常出现在支承点附近。为了简化计算，工程实践中常常采用等效载荷法，将实际的集中载荷转化为等效的均布载荷，从而简化弯矩分布的计算。例如，若简支梯形截面梁的长度为L，两端集中载荷分别为F1和F2，则等效均布载荷q=(F1+F2)/L。通过计算等效均布载荷下的弯矩分布，可以进一步确定梁的最大弯曲应力。

6.4弯曲应力强度校核

(1)弯曲应力强度校核是确保结构安全性的重要环节，它涉及到对材料在弯曲载荷作用下抵抗破坏的能力的评估。在材料力学中，通常采用许用应力[σ]来衡量材料的承载能力。许用应力是材料屈服极限（σs）或抗拉强度（σb）与安全系数（n）的比值，即[σ]=σs/n或[σ]=σb/n。在进行弯曲应力强度校核时，需要将计算得到的最大弯曲应力σmax与许用应力[σ]进行比较，确保σmax≤[σ]，从而保证结构在预期的载荷作用下不会发生失效。