第五章薄板弯曲.docxVIP

PAGE

1-

第五章薄板弯曲

5.1薄板弯曲的基本概念

5.1薄板弯曲的基本概念

薄板弯曲是结构力学中的一个重要问题，它涉及到薄板在受到外力作用时产生的弯曲变形。在工程实践中，许多结构，如飞机的机翼、汽车的底盘以及建筑物的屋面板等，都涉及到薄板的弯曲问题。薄板弯曲的基本概念主要包括弯曲曲率、弯矩、剪力和挠度等。

首先，弯曲曲率是描述薄板弯曲程度的一个物理量，通常用κ表示。在薄板弯曲问题中，曲率κ与薄板的厚度h、弯曲半径R以及弯曲角度θ之间存在以下关系：κ=θ/R。这个关系表明，当弯曲角度θ一定时，弯曲半径R越大，曲率κ越小，薄板的弯曲程度越低。

其次，弯矩是薄板弯曲时产生的主要内力之一，它对薄板的弯曲变形起着决定性的作用。弯矩M与薄板的弯曲曲率κ、板长L以及外载荷q之间的关系可以表示为：M=κqL^2/12。这个公式说明，在相同的载荷作用下，薄板的弯矩与其长度平方成正比，与曲率成反比。

最后，剪力和挠度也是薄板弯曲问题中的重要概念。剪力V是薄板在弯曲过程中产生的横向力，它与弯矩M和曲率κ有关，具体关系为：V=κqL/2。挠度w则是薄板在弯曲过程中产生的最大位移，它与弯矩M、曲率κ以及材料的弹性模量E和惯性矩I有关，其表达式为：w=(M/EI)*(1-κ^4/12)。

以飞机机翼为例，机翼在飞行过程中会受到气动力和重力等外力的作用，这些外力会导致机翼产生弯曲变形。为了保证飞机的飞行安全，设计者需要根据机翼的尺寸、材料特性和载荷情况，计算出机翼的最大弯曲曲率、弯矩、剪力和挠度，从而确保机翼在受到外力作用时能够保持足够的强度和刚度。通过理论计算和实验验证，可以优化机翼的设计，提高飞机的整体性能。

5.2薄板弯曲的力学模型与基本方程

5.2薄板弯曲的力学模型与基本方程

(1)薄板弯曲的力学模型是研究薄板在受到外部载荷作用时产生弯曲变形的理论框架。在建立力学模型时，通常假设薄板为均质、各向同性材料，且其厚度远小于板的长宽尺寸，从而简化计算过程。这一假设使得薄板弯曲问题可以采用线性理论进行分析。在力学模型中，薄板被视作一个连续体，其内部的应力、应变和位移等物理量在空间上连续变化。

(2)薄板弯曲的基本方程主要包括弯曲微分方程和边界条件。弯曲微分方程描述了薄板在弯曲过程中应力和位移之间的关系。对于薄板的平面弯曲问题，其基本方程可以表示为：Eh^3κ^2+12μhκR=q，其中E为材料的弹性模量，h为薄板的厚度，κ为曲率，μ为泊松比，R为弯曲半径，q为单位面积上的载荷。此外，边界条件则用于确定薄板在边界上的位移和转角，它们对于求解弯曲问题至关重要。

(3)薄板弯曲的力学模型和基本方程在实际应用中具有广泛的意义。例如，在建筑结构设计中，通过建立薄板的力学模型，可以计算出屋面板、楼板等结构在受到重力、风载等外力作用时的弯曲变形、弯矩和剪力，从而确保结构的安全性和稳定性。在航空航天领域，飞机机翼、尾翼等部件的弯曲问题也需要利用薄板弯曲的力学模型进行分析，以保证飞行器的气动性能和结构强度。此外，在机械制造和材料加工等领域，薄板弯曲的力学模型同样具有重要的指导意义，有助于优化设计和提高产品质量。

5.3薄板弯曲的边界条件与位移函数

5.3薄板弯曲的边界条件与位移函数

(1)薄板弯曲的边界条件是指在薄板的边界上，位移、转角和应力等物理量必须满足的条件。这些条件通常由实际结构的设计要求和工程约束决定。常见的边界条件包括固定端、自由端、简支端和铰支端等。固定端边界条件要求薄板在边界处既不能发生位移也不能发生转动；自由端边界条件则允许薄板在边界处发生位移和转动；简支端边界条件要求薄板在边界处只能发生转动，而不能发生位移；铰支端边界条件允许薄板在边界处发生位移，但不能发生转动。

(2)位移函数是描述薄板弯曲变形的数学表达式，它将薄板上的位移与坐标位置和载荷等因素联系起来。在薄板弯曲问题中，常用的位移函数包括双线性函数和三线性函数。双线性位移函数适用于中等厚度的薄板，它将薄板上的位移分为两个部分：一部分与曲率成正比，另一部分与曲率的平方成正比。三线性位移函数则适用于较厚的薄板，它引入了曲率的立方项，以更精确地描述位移与曲率的关系。在求解位移函数时，通常需要利用边界条件来消除未知参数，从而得到满足特定边界条件的位移函数表达式。

(3)在薄板弯曲问题中，选择合适的位移函数对于求解弯曲问题至关重要。位移函数的选择不仅取决于薄板的厚度和材料特性，还与边界条件和载荷情况有关。例如，当薄板的边界为简支时，选择双线性位移函数可能更为合适；而当边界为固定时，三线性位移函数可能更为精确。在实际应用中，工程师需要根据具体问题选择合适的位移函数，并结合边界条件和载荷情况，通过积分和微分运算求解薄板的弯曲变形。此外，为了提高计算效率和精度，有时还会采用数值方法，如有