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大一开学考试的数学试卷

一、选择题

1.设函数$f(x)=\lnx+1$，其中$x0$，则函数$f(x)$的单调递增区间是（）

A.$(0,+\infty)$

B.$(-\infty,0)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(0,1)$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1=1$，公差$d=2$，则数列$\{a_n\}$的通项公式是（）

A.$a_n=2n-1$

B.$a_n=2n+1$

C.$a_n=n^2-1$

D.$a_n=n^2+1$

3.设集合$A=\{x|x^2-2x+1\geq0\}$，则集合$A$的元素个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.无限个

4.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，则矩阵$\boldsymbol{A}^2$的行列式是（）

A.5

B.8

C.9

D.16

5.已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1=2$，公比$q=3$，则数列$\{a_n\}$的第4项是（）

A.6

B.18

C.54

D.162

6.设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则函数$f(x)$的奇偶性是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.无法确定

7.已知向量$\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，向量$\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$，则向量$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$的值是（）

A.5

B.7

C.9

D.11

8.设函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$，则函数$f(x)$的定义域是（）

A.$\{x|x\neq1\}$

B.$\{x|x1\}$

C.$\{x|x1\}$

D.$\{x|x\geq1\}$

9.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-n$，则数列$\{a_n\}$的前10项之和是（）

A.385

B.390

C.395

D.400

10.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则函数$f(x)$的极值点为（）

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.无法确定

二、判断题

1.矩阵的转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。（）

2.在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以表示为$y=kx+b$的形式，其中$k$和$b$是常数。（）

3.对于任意的实数$a$，都有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$成立。（）

4.函数$f(x)=x^3$在定义域内的导数$f(x)=3x^2$恒成立。（）

5.向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的叉积$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$是一个实数。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=x^2-4x+3$在$x=2$处取得极值，则该极值为______。

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，则第10项$a_{10}=$______。

3.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}23\\45\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^T$的行列式为______。

4.函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域是______。

5.若向量$\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}$，向量$\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.如何判断一个函数在某个区间内是否存在极值？请给出判断方法和一个具体例子。

3.简述向量的线性运算及其性质，并说明向量的加法和数乘运算在几何意义上的几何解释。

4.简述行列式的性质，并说明如何利用行列式的性质来计算行列式。

5.简述矩阵的秩的概念，并说明如何判断一个矩阵的秩。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}

\]

2.解下列一元二次方程：

\[

2x^2-5x+3=0

\]

3.计算下列向