湖南省长郡中学20232024学年高三上学期期末适应性考数学试题.docx

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长郡中学2024届高三期未适应性考

数学

本试卷共6页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，，则的实部与虚部分别为

A．3，B．3，C．2，D．2，

2．已知集合，，则

A．B．C．D．

3．函数的部分图象大致形状是

A．B．

C．D．

4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为

A．B．C．D．

5．已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则

A．B．C．D．

6．已知抛物线E：（）点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若（O为坐标原点），且△ABF的面积为，则E的方程为

A．B．C．D．

7．一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为

A．B．C．D．

8．已知函数的定义域为，且，若关于x的方程有4个不同实根，，，（），则的取值范围是

A．B．C．D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．

9．若a，，则下列命题正确的是

A．若且，则B．若，则

C．若，则D．若，则

10．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时（参考数据：，），则下列说法正确的是

A．

B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时

C．

D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

11．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则

A．B．当n为奇数时，

C．数列为等比数列D．数列的前n项和小于

12．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为30°，则

A．平面PMN

B．平面PMN截正方体所得的截面面积为

C．点Q的轨迹长度为

D．能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为（用数字作答）．

14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值（，2，3，…，100），经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为．（用百分数作答，精确到0.1%）

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，

，．

15．已知函数（）恰有两个零点，则．

16．在1，2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

记为数列的前n项和，若，．

（1）求；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，△ABC的面积为S，．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如图，若，，O为△ABC内一点，且，，求OB的长．

19．（本小题满分12分）

如图，已知斜四棱柱，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，点在底面ABCD的射影为O，且，，，．

（1）求证：平面ABCD⊥平面；

（2）若M为线段上一点，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为，求直线与平面MBC所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物：

方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；

方式二：直接购买吉祥物，每个30元．

（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首