湖南省名校2024届高三上学期8月一次质量检测数学试题（解析版）.docx

.

高三第一次质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接求交集即可.

【详解】，，

则.

故选：C.

2.已知复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的四则运算法则进行计算即可.

【详解】由

可得，

所以，

故选:

3.已知，是非零实数，则“”是“”的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数函数的单调可知，从而充分性成立，反之也成立，即可判定.

【详解】因为，都是非零实数，由可得，

所以成立，反之也成立.

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：A.

4.某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：

年份

2018

2019

2020

2021

2022

年份代码

1

2

3

4

5

年人均借阅量（册）

16

22

28

（参考数据：）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（）

A.31 B.32 C.33 D.34

【答案】C

【解析】

【分析】首先求，并代入回归直线方程求，最后代入，即可求解.

【详解】因为，，所以，即.

所以回归方程为，当时，.

故选：C.

5.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（）

A.2 B.4 C.8 D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件设出直线的方程为，联立直线和抛物线方程并消元，得到，，有直线间的距离，结合条件近一步计算即可.

【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，

设直线的方程为，将直线的方程代入中，

得，所以，，

直线与间的距离，

当时，取最小值4，

故选：B.

6.某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对立事件的概率公式计算．

【详解】记“两项竞赛参加人数不相等”为事件，则，

故选：D

7.在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（）

A.2 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，平面，然后利用锥体的体积公式即得.

【详解】由题可知,，又平面，

故平面，又平面，

所以，即此时为直角三角形，因为，，所以，

又，平面，

所以平面，

所以四面体的体积为.

故选：B.

8.在三角形中，，，，在上的投影向量为，则（）

A.-12 B.-6 C.12 D.18

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解.

【详解】由题意，，为中点，由在上的投影向量为，

即，又，

所以，

所以.

故选：A.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（）

A.

B.的最大值为2

C.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为

D.在上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知函数的图象关于点对称，可知点在函数的图象上，满足函数方程，进而求出的值，可判断出的正误；已知的值，求出函数的解析式，利用辅助角公式可把解析式化为，进而可判断出

【详解】因为函数的图象关于点对称，

则点在函数的图象上，

所以，

解得，故A错误；

由，得最大值为2，故B正确；

因为的最小正周期为，所以函数的图象相邻两条对称轴的距离为，

故C正确；

当时，，

所以在上是单调递增，故D错误.

故选：BC.

10.(多选)已知点，是双曲线：的左、右焦