高考数学（文）专题复习习题： 第5部分 高考大题规范练 5-2-3 含答案.docVIP

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大题规范练(三)

(满分70分，押题冲刺，70分钟拿下主观题高分)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2eq\f(B－C,2)－sinB·sinC＝eq\f(2－\r(2),4).

(1)求角A；

(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由cos2eq\f(B－C,2)－sinB·sinC＝eq\f(2－\r(2),4)，

得eq\f(cos?B－C?,2)－sinB·sinC＝－eq\f(\r(2),4)，

∴cos(B＋C)＝－eq\f(\r(2),2)，

∴cosA＝eq\f(\r(2),2)(0＜A＜π)，∴A＝eq\f(π,4).

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－eq\r(2)bc≥(2－eq\r(2))bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋eq\r(2))．

∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(2),4)bc≤4(eq\r(2)＋1)，

即△ABC面积的最大值为4(eq\r(2)＋1)．

2．(本小题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.

(1)证明：AE⊥平面PAD；

(2)求多面体PAECF的体积．

解：(1)证明：由PA⊥底面ABCD得，PA⊥AE.

由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC为等边三角形，又E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.

因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.

(2)设多面体PAECF的体积为V，则

V＝VP-AEC＋VC-PAF.

VP-AEC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×AE×EC))×PA＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(3)×1))×2＝eq\f(\r(3),3)；

VC-PAF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×PA×PF×sin∠APF))×AE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)×sin45°))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).

故多面体PAECF的体积V＝eq\f(\r(3),3)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3).

3．(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

昼夜温差x(℃)

10

11

13

12

8

6

就诊人数y(人)

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归直线方程，再用被选取的2组数据进行检验．

(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)若选取的是1月与6月的2组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；

(3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问该小组所得到的回归直线方程是否理想？

(参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))

解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件M，

从6组数据中选取2组数据有{(10,22)，(11,25)}，{(10,22)，(13,29)}，{(10,22)，(12,26)}，{(10,22)，(8,16)}，{(10,22)，(6,12)}，{(11,25)，(13,29)}，{(11,25)，(12,26)}，{(11,25)，(8,16)}，{(11,25)，(6,12)}，{(13,29)，(12,26)}，{(1