湖南省长郡中学2021-2022学年高三上学期月考(三)数学试题.docx

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长郡中学2022届高三月考试卷（三）

数学

得分：

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U＝{，，0，1，2，3}，A＝{，0，1}，B＝{1，2}，则（）

A．{，3}В．{，2，3}

C．{，，0，3}D．{，，0，2，3}

2．命题“，”的否定是（）

A．，B．，

C．，D．，

3．函数的图像如图所示，则（）

A．，B．，

C．，D．，

4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻．若，，则x的值约为（）

A．1．322B．1．410C．1．507D．1．669

5．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，，则

6．T1，T2，T3三个元件正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的．如图，将T2，T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（）

A．В． C．D．

7．已知，，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（）

A．B．

C．D．

8．已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是（）

A．В． C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A．的最小正周期为2

B．的图像关于点（，0）对称

C．的图像关于直线对称

D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像

10．下列命题为真命题的是（）

A．若，互为共轭复数，则为实数

叠乘积”，如果有2020项的正项数列，，，…，的“相对叠乘积”为2020，则有2021项的数列10，，，，…，的“相对叠乘积”为．

16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P—ABCD中，球O1内切于该四棱锥，球O2与球O1及四棱锥的四个侧面相切，球O3与球O2及四棱锥的四个侧面相切，…依次作球On+1与球On及四棱锥的四个侧面相切，则球O1的表面积为．球O1，球O2，…球On的表面积之和为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设正项数列为等比数列，它的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．

18．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．

（1）求及线段BC的长；

（2）求△ADE的面积．

19．（12分）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起至△A1BE使，得到如图②所示的四棱锥A1—BCDE．

（1）求证：平面A1BE⊥平面A1BC；

（2）若P为A1C的中点，求二面角P—BD—C的余弦值．

20．（12分）已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：．

21．（12分）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．

（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；

（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列．

（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由；

22．（12分）已知函数，．

（1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）当时，若，存在公切线l，求的范围（表示不大于x的最大的整数）．

长郡中学2022届高三月考试卷（三）

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

D

A

B

A

B

B

1．A【解析】由题意可得，则．故选A．

2．C【解析】∵命题“，”是一个全称量词命题．

∴其命题的否定为：，，故选C．

3．D【解析】函数图像关于直线对