2025高考数学二轮复习-专题六-微专题41-定点、定值问题-专项训练【含答案】.pdf

微专题41定点、定值问题

[考情分析]圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题

型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大．

考点一圆锥曲线的定点(定直线)问题

典例1(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心

率为5.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，A，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在

12

第二象限，直线MA与NA交于点P.证明：点P在定直线上．

12

22

xy

(1)解设双曲线C的方程为－＝1(a0，b0)，

22

ab

由焦点坐标可知c＝25，

c

则由e＝＝5，

a

22

可得a＝2，b＝c－a＝4，

22

xy

所以双曲线C的方程为－＝1.

416

(2)证明由(1)可得A(－2,0)，A(2,0)，

12

设M(x，y)，N(x，y)，

1122

显然直线MN的斜率不为0，

11

设直线MN的方程为x＝my－4，且－m，

22

22

xy222

与－＝1联立可得(4m－1)y－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m＋3)0，

416

32m48

则y＋y＝，yy＝，

1212

22

4m－14m－1

直线MA的方程为y＝y1(x＋2)，

1

x＋2

1

直线NA的方程为y＝y2(x－2)，

2

x－2

2

联立直线MA与直线NA的方程可得

12

x＋2yx＋2ymy－2

2121

＝＝

x－2yx－2ymy－6

1212

myy－2y＋y＋2y

12121

＝

myy－6y

121

4832m

m·－2·＋2y1

22

4m－14m－1

＝

48

m·－6y1

2

4m－1

－16m

＋2y1

21

4m－1

＝＝－，

48m3

－6y1

2

4m