行列式展开定理.ppt

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束线性代数数学科学学院陈建华汇报人姓名1.3行列式展开定理例1.计算解:(化上三角形法)D－＝57复习?！01余子式、代数余子式02行列式按行（列）展开定理03Laplace定理＊本节内容1.aij的余子式：在中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij2.元素aij的代数余子式：例如，在中，M32＝Aij＝(－1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=一、余子式和代数余子式行列式按某行(列)展开定理01ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin02a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj03行04列05思路:ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin证：①先证先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.01020304i行逐一向下交换经n－i次至末行j列逐一向右交换经n－j次至末列思路：化归为情形①次证2019＝(－1)i＋jaijMij012020＝aijAij022021＝(－1)i＋jaijMnn￠032022由①04最后0101020304证毕＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②020304CBA解法1：化上三角形法解法2：降阶法例1.计算行列式D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.=10=(-1)2+2=5×(-1)2+3例2：计算例3计算行列式[分析]首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法解：=(－1)n+1xn-2例4计算4阶范德蒙(Vandermonde)行列式[分析]相邻两行元素较接近!末行始,后一行加上其前行的(－x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(－x2)倍，……12解：=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)1连乘积记号2可以证明n阶“范德蒙行列式”3.推论:行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)列行对于行列式的列，类似地有：a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)综合定理及推论得“代数余子式的重要性质”:A41+A42+A43+A44=a31A41+a32A42+a33A43+a34A44=0巧用第3行的四个1分析:例5设，计算A41+A42+A43+A44.[分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例6设a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+a45A35＝02(A31+A32+A33)+(A34+A35)＝0(A31+A32+A33)+2(A34+A35)＝0A31+A32+A33=0A34+A35=0思考:如何求A41+A42+A43?解:例7设，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+a43A43+a44A44＝DA41+A42+2A43+3A44＝02A41+2A42+3A43+4A44＝D两式相减得A41+A42+A43+A44＝D=6思考：其它解法A41+A42+A43+A441.几个概念(1)k阶子式：任选k行k列k阶行列式，记作M.(aij是行列式的一阶子式)(2)k阶