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2025年新课标II卷数学高考真题(含答案)
一、选择题(每题5分,共40分)
1.设集合A={x|x25x+60},B={x|x30},则A∩B的取值范围是()
A.(2,3)
B.(2,3]
C.[2,3)
D.[2,3]
答案:B
2.函数f(x)=x24x+3在区间()上单调递增。
A.(∞,2)
B.(2,+∞)
C.(1,3)
D.(3,+∞)
答案:A
3.若函数y=2x33x2+1的极值点为x=0和x=1,则以下结论正确的是()
A.x=0是极大值点,x=1是极小值点
B.x=0是极小值点,x=1是极大值点
C.x=0和x=1都是极大值点
D.x=0和x=1都是极小值点
答案:B
4.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=25,S10=100,则该数列的公差为()
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:A
5.若函数g(x)=ln(x22x+2)的最小值为0,则x的取值范围是()
A.(∞,1)
B.(1,+∞)
C.(∞,1]
D.[1,+∞)
答案:D
6.若复数z=3+4i的模是5,则z的共轭复数是()
A.34i
B.3+4i
C.34i
D.3+4i
答案:A
7.若函数y=x2+bx+c在x=1处取得最小值,且经过点(0,4),则b+c的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6
答案:C
8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=4相切,则k的取值范围是()
A.(∞,1)∪(1,+∞)
B.[1,1]
C.(1,1)
D.(∞,1)∪(0,1)
答案:A
二、填空题(每题5分,共40分)
9.若函数f(x)=x22x+1在x=1处的切线方程为y=2x1,则f(x)的导数f(x)在x=2时的值为______。
答案:3
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=21,S12=63,则该数列的首项a1为______。
答案:3
11.若函数y=2x33x2+x+1在x=0处的切线与x轴平行,则该函数的导数f(x)为______。
答案:6x26x+1
12.若矩阵A=\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)的行列式为______。
答案:2
13.若函数y=ln(x22x+2)在x=1处的切线斜率为______。
答案:1
14.若函数f(x)=x2+2x+k在区间(∞,0)上单调递减,则k的取值范围是______。
答案:k≥1
三、解答题(共80分)
15.(本题满分15分)已知函数f(x)=x33x2+4x+1,求f(x)的单调区间。
答案:
解:首先求f(x)的导数f(x)=3x26x+4。令f(x)=0,解得x=2或x=1/3。通过分析导数的符号变化,可以得出f(x)在(∞,1/3)和(2,+∞)上单调递增,在(1/3,2)上单调递减。
16.(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=2an1+1(n≥2),a1=1。求证数列{an+1}是等比数列。
答案:
证明:由题意知an=2an1+1,因此an+1=2an+1=2(2an1+1)+1=2an+2。所以,an+1=2(an+11)。由于a1=1,所以a2=2a1+1=3,即a2+1=4。因此,数列{an+1}的首项为2,公比为2,是等比数列。
17.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2/4+y2/3=1,直线l:x=2。求椭圆C上与直线l平行的切线的方程。
答案:
解:设切线方程为y=k(x2)。由于切线与椭圆相切,联立方程组
\[
\begin{cases}
y=k(x2)\\
x2/4+y2/3=1
\end{cases}
\]
将y=k(x2)代入椭圆方程,整理得(3+4k2)x216k2x+16k212=0。由于直线与椭圆相切,判别式Δ=0,即256k?48(3+4k2)(k21)=0。解得k=±√6/2。因此,切线方程为y=±√6/2(x2)。
18.(本题满分15分)已知函数f(x)=x2+bx+c有两个不同的实数根,且f(x)在x=1处的切线斜率为2。求b和c的值。
答案:
解:由题意知f(x)=2x+b,f(1)=2+b=2,解得b=0。由于f(x)=x2+c,且f(x)有两个不同的实数根,因此判别式Δ=b24c0。由于b=0,所以024c0,解得c0。结合f(x)在x=1处的函数值为f(1)=12+0+c=c,且切线斜率为2,可以得出f
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