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天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级
第二次阶段性检测数学试卷
一、选择题(每题5分,共45分)
1已知集合,,则()
A. B. C. D.
2.已知,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为().
A. B. C. D.
4.下列说法中正确个数为()个
①对立事件一定是互斥事件;②在经验回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量减少0.1个单位;③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数绝对值越接近于1;④在回归分析模型中,若相关指数越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越好.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知函数,若,则()
A B.
C. D.
6.若,,,则()
A. B. C. D.1
7.已知随机变量服从正态分布,且,则等于()
A.0.14 B.0.36 C.0.72 D.0.86
8.已知函数,若对任意,不等式恒成立,,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
9.设定义在上的函数与,若,,且为奇函数,设的导函数为,则下列说法中一定正确的是()
A.是奇函数 B.函数的图象关于点对称
C. D.点(其中)是函数的对称中心
二、填空题(每题5分,共30分)
10.在的展开式中,项的系数为________.(用数字作答)
11.分别从和中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数,这样的四位数共有__________个.
12.公差大于零等差数列中,,,成等比数列,若,则_____________.
13.已知,,则的最小值为_______.
14.某学校有,两家餐厅,经统计发现,某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为;如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为,则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________;假设班内各位同学的选择相互独立,随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数,则随机变量的均值__________.
15.设,函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为________.
三、解答题(共75分,需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤,只有结果的不给分)
16.如图,直线垂直于梯形所在的平面,,为线段上一点,,四边形为矩形.
(1)若是中点,求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值:
(3)若点到平面的距离为,求的长.
17.2024年世界羽联赛已经开始,同时,也是奥运年,4年一度最精彩赛事即将来临!为了激发同学们的奥运精神,某校组织同学们参加羽毛球比赛,若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛,采用五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的比分获胜的概率;
(2)设表示比赛结束时进行的总局数,求的分布列及数学期望.
18.今年是中国共产党建党103周年,为庆祝中国共产党成立103周年,某高中决定开展“学党史,知奋进”党史知识竞赛活动,为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系,在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本,设事件“获奖”,“选修历史”,据统计,.统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表:
获奖
没有获奖
合计
选修历史
没有选修历史
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:,
(1)完成上面列联表,并依据的独立性检验,能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”;(结果保留三位小数)
(2)从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”,在某次活动中,从这6名学生中随机选取3人为宣讲员,求男生宣讲员人数的分布列和数学期望.
19.已知等差数列,满足,,正项数列的前项和为,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求
(3)在,之间插入1个数,使成等差数列,在,之间插入2个数,,使成等差数列,;在,之间插入个数,使成等差数列.
①求;
②求.
20.已知函数,.
(1)讨论的单调区间;
(2)当时,令.
①证明:当时,;
②若数列满足,,证明:.
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