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第七章弯曲变形(习题解答)

一、弯曲变形基本概念

(1)弯曲变形是指在外力作用下，结构或构件发生弯曲变形的现象。在工程实践中，弯曲变形是结构力学中的一个重要概念，它涉及到结构在受到横向载荷时的内力、应力、应变和位移等问题。弯曲变形的研究对于确保结构的安全性和稳定性具有重要意义。

(2)弯曲变形的基本理论包括弯曲应力、弯曲应变和弯曲位移等基本概念。弯曲应力是指在外力作用下，材料内部产生的垂直于中性轴的应力；弯曲应变是指材料在弯曲过程中产生的线应变和角应变；弯曲位移则是指结构在弯曲过程中产生的形变。这些基本概念构成了弯曲变形分析的理论基础。

(3)根据受力情况和变形特点，弯曲变形可以分为纯弯曲、斜弯曲和复合弯曲等类型。纯弯曲是指构件仅受到横向载荷作用，斜弯曲是指构件同时受到横向载荷和轴向载荷的作用，而复合弯曲则是指构件受到多个不同方向载荷的综合作用。不同类型的弯曲变形具有不同的力学特性和计算方法，因此在实际工程中需要根据具体情况选择合适的分析方法。

二、弯曲变形的力学分析

(1)弯曲变形的力学分析是结构力学中的一个核心问题，它涉及到对结构在弯曲载荷作用下的内力、应力和变形的计算。在这一分析过程中，首先要考虑的是弯曲载荷的性质，包括其大小、方向和作用点。弯曲载荷可以是均匀分布的，也可以是非均匀分布的，或者是集中载荷。不同类型的载荷会对结构的弯曲变形产生不同的影响。

(2)在进行弯曲变形的力学分析时，需要引入几个关键的概念，如中性轴、截面模量、惯性矩等。中性轴是指截面上应力为零的轴线，它是弯曲变形分析中的一个重要参考线。截面模量是衡量截面抵抗弯曲变形能力的参数，它取决于截面的几何形状和尺寸。惯性矩则是描述截面抵抗弯曲变形的物理量，它与截面的形状和尺寸密切相关。这些参数的计算对于确定结构的弯曲变形至关重要。

(3)弯曲变形的力学分析通常采用两种方法：解析法和数值法。解析法是基于理论公式和数学推导进行计算，适用于简单或规则的结构。数值法则是通过建立数学模型，利用计算机程序进行计算，适用于复杂或不规则的结构。在解析法中，常用的公式包括欧拉公式、贝塞尔公式等，这些公式可以计算出结构的最大弯曲应力、最大弯曲应变和最大弯曲位移。而在数值法中，有限元分析（FEA）是最常用的方法，它可以将复杂的结构划分为多个单元，通过求解单元的平衡方程来得到整个结构的变形情况。这两种方法各有优缺点，在实际工程中需要根据具体情况选择合适的方法。

三、弯曲变形的计算方法

(1)弯曲变形的计算方法主要包括基于材料力学理论的解析法和基于数值模拟的有限元法。以一个简单的梁为例，假设其长度为L，截面惯性矩为I，材料弹性模量为E，载荷为F。根据解析法，梁的最大弯曲应力σ_max可以通过公式σ_max=(F*L^3)/(2*E*I)计算得出。在实际工程中，通过测量梁的挠度，可以验证计算结果的准确性。

(2)在实际工程应用中，有限元法被广泛应用于复杂结构的弯曲变形计算。例如，在一座跨度为30米的桥梁设计中，通过有限元分析，可以计算出在车辆载荷作用下的最大弯曲应力、最大挠度和最大应变。假设桥梁的截面惯性矩为I，弹性模量为E，载荷为F，根据有限元分析结果，最大弯曲应力σ_max约为120MPa，最大挠度δ_max约为15mm。

(3)在计算弯曲变形时，还需考虑材料非线性、几何非线性等因素。以一个钢筋混凝土梁为例，其弯曲变形计算需要考虑混凝土的弹塑性性能和钢筋的屈服行为。假设梁的截面惯性矩为I，弹性模量为E，混凝土的应力-应变关系为σ=f(ε)，钢筋的应力-应变关系为σ=Es*ε_s，其中f(ε)和Es分别为混凝土的应力-应变关系和钢筋的弹性模量。通过将非线性关系代入有限元分析，可以得到更精确的弯曲变形计算结果。