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高中不等式综合提升讲义

不等式的性质：

同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：

假设，那么〔假设，那么〕

左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，异向不等式可以相除

假设，那么〔假设，那么〕；

左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方

假设，那么或；

同号谁大倒数小，异号谁大倒数大

假设，，那么；假设，，那么

对于实数中，给出以下命题：

①；②；

③；④；

⑤；⑥；

⑦；⑧，那么

其中正确的命题是__________

，，那么的取值范围是______

函数满足，，求的取值范围

根本不等式：

【注意平方后的不等式的应用！】

注意：

1.“一正二定三相等”

2.假设等号不成立那么用“对勾函数求最值”

3.假设不为倒数形式时，通常需要通过加减等运算配凑成互为倒数形式！

最值定理：假设x0且y0,那么：【和定积最大，积定和最小】

假设x+y=s,当且仅当x=y时，xy有最大值；

假设xy=p,当且仅当x=y时，x+y有最小值；

假设x4,函数

设x、y∈R,x+y=5，那么3x+3y的最小值是_________

正数满足，求的最小值

：、都是正数，且，，，求的最小值

解：是正数，

的最小值是5，〔当且仅当时〕。

分式不等式的解法

求不等式的解集

求不等式的解集

求不等式的解集

求不等式的解集

绝对值不等式

解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号〔整体思想，分类讨论〕转化为不含绝对值的不等式，通常有以下三种解题思路：

〔1〕定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；

〔2〕公式法：|f(x)|af(x)a或f(x)－a；|f(x)|a－af(x)a；

〔3〕平方法：|f(x)|a(a0)f2(x)a2；|f(x)|a(a0)f2(x)a2；

解不等式

求不等式的解集

不等式的解集为

不等式的解集是

解不等式

解不等式

如果等式成立，求实数的取值范围

不等式的解集

一元二次不等式的解法【因式分解+十字交叉或公式法求根，再由图像解得】

；

(2)；

；

(4)．

集合与，假设，求的取值范围。

解：

设〔*〕

当?，即方程〔*〕无解，显然成立，由得

，解得

当?，且成立，即：根据图像得出：

，解得

综合〔1〕〔2〕两式，得的取值范围为。

一元高次不等式的解法

数轴穿根法：【奇过偶不过！】

把不等式化为f(x)＞0〔或＜0〕的形式〔首项系数化为正〕，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

解不等式

解不等式：.

解：

+，用根轴法〔零点分段法〕画图如下：

+

++

+

+

---1123

-

-

-1

1

2

3

原不等式的解集为。

求不等式的解集

求不等式的解集

对数不等式、指数不等式的解法(同底法,即化为同底后利用对数\指数函数的单调性)

(1)

(2)

解不等式：

求不等式的解集；

线性规划

A.求线性目标函数的取值范围

xyO2

x

y

O

2

2

x=2

y=2

x+y=2

B

A

A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

l向右上方平移，过点A〔2,0〕时，有最小值

2，过点B〔2,2〕时，有最大值6，应选A

假设满足约束条件那么的最大值为

设变量满足约束条件那么目标函数的最大值

设变量、满足约束条件，那么目标函数的最小值为

设满足那么的最值为________w.w

B.求非线性目标函数的最值

2x+y-2=0=

2x+y-2=0=5

x–2y+4=0

3x–y–3=0

O

y

x

A

A、13，1B、13，2

C、13，D、，

解：如图，作出可行域,x2+y2是点〔x，y〕到原点的距离的平方，故最大值为点A〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C

设变量、满足约束条件，那么最小值为

设、满足条件，那么的最小值．

设是不等式组表示的平面区域,那么中的点到直线距离的最大值_.

那么的最小值是.

设实数x,y满足.

2x+

2x+y–6=0=5

x＋y–3=0

O

y

x

A

B

C

M

y=2

例3、不等式组表示的平