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大东区高三数学试卷
一、选择题
1.若函数$f(x)=x^3-3x+1$的图像关于点$(1,0)$对称,则下列说法正确的是()
A.$f(0)=0$
B.$f(0)=0$
C.$f(1)=0$
D.$f(1)=0$
2.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+1}$,则$f(x)$的奇偶性是()
A.奇函数
B.偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.无法确定
3.设$a0$,$b0$,若$a+b=2$,则下列不等式成立的是()
A.$a^2+b^2\geq2$
B.$(a+b)^2\geq4ab$
C.$(a-b)^2\geq0$
D.$a^2+b^2\geq4ab$
4.下列函数中,有极值的是()
A.$f(x)=x^2$
B.$f(x)=x^3$
C.$f(x)=\frac{1}{x}$
D.$f(x)=\sqrt{x}$
5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$,若$S_3=12$,$S_5=30$,则$a_1$的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8
6.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$,若$a_1=2$,$a_3=8$,则$q$的值为()
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.4
D.$\frac{1}{4}$
7.已知直线$l$的方程为$x+y=1$,点$P(1,2)$到直线$l$的距离是()
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{5}$
8.已知圆$O$的方程为$x^2+y^2=4$,直线$l$的方程为$x+y=2$,圆$O$与直线$l$的交点坐标是()
A.$(2,0)$,$(0,2)$
B.$(1,1)$,$(1,1)$
C.$(2,-2)$,$(-2,2)$
D.$(1,-1)$,$(-1,1)$
9.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$,则$z$在复平面上的轨迹是()
A.以点$(0,0)$为圆心,半径为1的圆
B.以点$(0,0)$为圆心,半径为2的圆
C.以点$(0,0)$为圆心,半径为1的圆的内部
D.以点$(0,0)$为圆心,半径为2的圆的内部
10.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,$a_{n+1}=a_n^2$,则数列$\{a_n\}$的通项公式是()
A.$a_n=2^{n-1}$
B.$a_n=2^n-1$
C.$a_n=2^n+1$
D.$a_n=2^{n-1}-1$
二、判断题
1.若函数$f(x)=x^3$在区间$[0,1]$上单调递增,则函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$在区间$[0,1]$上单调递增。()
2.若一个等差数列的前$n$项和为$S_n$,则其第$n$项$a_n$的值与$n$成线性关系。()
3.对于任意的实数$a$和$b$,都有$(a+b)^2=a^2+b^2$。()
4.若两个函数的图像关于原点对称,则这两个函数互为反函数。()
5.若一个圆的半径增加,则其面积也会增加。()
三、填空题
1.函数$f(x)=\sqrt{x-1}$的定义域为______。
2.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$,公差$d=2$,则第10项$a_{10}$的值为______。
3.设直线$l$的方程为$2x-3y+1=0$,点$P(1,2)$到直线$l$的距离为______。
4.圆的方程为$x^2+y^2-4x+6y+9=0$,则圆心坐标为______。
5.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$,则$z$在复平面上的轨迹方程为______。
四、简答题
1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像特征,并说明如何通过函数的系数$a$、$b$和$c$来确定其图像的位置和形状。
2.给定一个等差数列$\{a_n\}$,已知前$n$项和$S_n=4n+1$,求该数列的首项$a_1$和公差$d$。
3.证明:若直线$l$的方程为$ax+by+c=0$,则点$(x_0,y_0)$到直线$l$的距离公式为$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
4.简述复数在几何意义上的表示方法,并解释如何利用复数进行平面直角坐标系中的点与向量运算。
5.举例说明如何利用数列的通项公式求解数列的前$n$项和,并解释解题过程中需要注意的问题。
五、计算题
1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的导数$f(x)$,并求出$f(x)=0$时的$x$值。
2.已知数列$\{a_n\}$的通项
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