广东广州市天河区高考数学复习精选试题：圆锥曲线与方程（解答题） .docVIP

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圆锥曲线与方程02

解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

1．若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。

(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；

(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。

(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得

可知y1+y2=－2my1y2=2c∴x1+x2=2m2—2cx1x2=c2

(1) 当m=－1,c=－2时，x1x2+y1y2=0所以OA⊥OB.

(2) 当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).

(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2]=由(2)知c=－2

∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。

2．如图，是椭圆C：的左、右顶点，是椭圆上异于的任意一点，已知椭圆的离心率为，右准线的方程为.

(1）若，，求椭圆C的方程；

(2）设直线交于点，以为直径的圆交

于，若直线恰过原点，求.

【答案】（1）由题意：，解得．

椭圆的方程为．

(2)设，因为三点共线，

所以

,解得

3．已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：

过A，F2两点．

(1）求椭圆E的方程；

(2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝eq\f(2π,3)时，证明：点

P在一定圆上．

【答案】（1）圆与轴交点坐标为，，

故，所以，∴椭圆方程是：．

(2）设点P（x，y），因为（－eq\R(,3)，0），（eq\R(,3)，0），

设点P（x，y），则＝tanβ＝eq\F(y,x＋eq\R(,3)),＝tanα＝eq\F(y,x－eq\R(,3))，

因为β－α＝eq\F(2π,3)，所以tan(β－α)＝－eq\R(,3)．

因为tan(β－α)＝eq\F(tanβ－tanα,1＋tanαtanβ)＝eq\F(－2eq\R(,3)y,x2＋y2－3)，

所以eq\F(－2eq\R(,3)y,x2＋y2－3)＝－eq\R(,3)．化简得x2＋y2－2y＝3．

所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．

4．已知定点及椭圆,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．

(1）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；

(2）当直线AB与x轴不垂直时，在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）依题意，直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y=k（x+1）,

将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,

消去y整理得

(3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

由线段AB中点的横坐标是-，

得=-=-,解得k=±，适合①.

所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．

(2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．

当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知

x1+x2=-,x1x2=．③

所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）

=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2．

…9分

将③代入，整理得=+m2

=+m2

=m2+2m--．

注意到是与k无关的常数，从而有

6m+14=0，m=-，此时=．

所以，在x轴上存在定点M，使为常数．

5．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.

(1)求椭圆的焦距；

(2)如果，求椭圆的方程．

【答案】(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)

∵kl＝tan60°＝eq\r(3),∴l的方程为y＝eq\r(3)(x－c)

即：eq\r(3)x－y－eq\r(3)c＝0∵F1到直线l的距离为2eq\r(3)

∴eq\f(|－\r(3)c－\r(3)c|,\r(?\r(3)?2＋?－1?2))＝eq\r(3)c＝2eq\r(3)∴c＝2∴椭圆C的焦距为4

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0

直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－2)

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)?x－2?,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去x得，(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b