湖南省长郡中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题（解析版）.docx

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长郡中学2023届高三月考试卷（四）

数学

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.，若，则集合（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定全集中的元素，由得到集合.

【详解】，由，∴.

故选：A

2.函数零点所在的区间是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数在上单调递减，

所以函数最多只有一个零点，

因为，

，

，

，

所以函数零点所在的区间是.

故选：C

3.已知函数，则（）

A. B. C.2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先对求导，再代入即可求得.

【详解】因为，

所以，

故，即，

所以.

故选：B.

4.在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.

【详解】椭圆的标准方程为；

易得椭圆焦点坐标为，

又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，

由双曲线虚轴长为6可知，所以；

所以，双曲线的标准方程为.

故选：B.

5.已知向量，且，则（）

A.68 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意利用两个向量的模相等，求得的值，再用两个向量的数量积的坐标公式即可求解.

【详解】已知向量，,

，即，

又，，故，

.

故选：D.

6.为了解某种产品与原材料之间的关系，随机调查了该产品5个不同时段的产品与原材料的价格，得到如下统计数据表：

原材料价格（万元/吨）

产品价格（万元/件

但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得样本中心，再将样本中心代入回归直线方程即可求得的值.

【详解】依题意，得，，

因为必过，

所以，解得，

所以.

故选：A.

7.的展开式中，的系数为（）

A.60 B. C.120 D.

【答案】A

【解析】

【分析】设的通项为，设的通项为,即得解.

【详解】解：设的通项为，

设的通项为，

令

所以的系数为.

故选：A

8.三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先取中点，连接，.通过勾股定理求解，的长度，并利用余弦定理求解的值.然后分别过三角形与的外心作平面的垂线，垂线交于球心，最后求解的长度，进而利用勾股定理求解外接球半径.

【详解】如图，取中点，连接，.

且为中点，，

，同理可得.

又，，，即，

过的外心作平面的垂线为，垂足为，

同理过的外心作平面的垂线为，并设，易知为球心.

连接，，.

为的外心，，

又在中，，

得，即外接球半径，

故外接球表面积.

故选：B

二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知复数，则下列结论中正确的是（）

A. B.的虚部为1

C. D.

【答案】AC

【解析】

【分析】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB，

求出复数的模验证选项C，化简选项D即可

【详解】因为，

所以，故A正确；

的虚部为，故选项B错误；

由，故选项C正确，

由，

所以，

故选项D错误，

故选：AC.

10.对抛物线，下列描述不正确的是（）

A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为

C.准线方程为 D.准线方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据抛物线定义即可判断其开口方向，写出焦点坐标和准线方程.

【详解】根据抛物线定义可知，抛物线对应的标准方程为，其中，

所以，抛物线开口向上，焦点坐标为，即；

所以准线方程；因此选项AD正确.

故选：BC.

11.已知直线，则（）

A.若，则

B.若，则

C.若与坐标轴围成的三角形面积为1，则

D.当时，不经过第一象限

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.

【详解】由题知，直线

对于A，当时，，解得或，故A错误；

对于B，当时，，解得，故B正确；

对于C，在直线中，

当时，，当时，，

所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；

对于D，由题知当时，的图象为

故D正确；

故选：BCD

12.某校3200名高中生举行了一次法律常识考试，其成绩大致服从正态分布，设表示其分数，且，则下列结论正确的是（）

（附：若随机