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大学微积分课件PPT大纲

目录CONTENCT引言极限与连续导数与微分微分中值定理与导数的应用不定积分定积分及其应用多元函数微积分

01引言

早期微积分思想的萌芽微积分的创立微积分的严格化古代数学中的极限思想与无穷小分割。牛顿与莱布尼茨的独立发展及符号体系的建立。柯西等数学家对微积分基础理论的完善与严密化。微积分的起源与发展

重要性应用领域微积分的重要性及应用领域微积分是高等数学的基础，对于理解现实世界的变化规律具有重要意义。物理学、经济学、工程学、生物学等多个学科领域的广泛应用。

课程目标与学习要求课程目标掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。学习要求认真听讲、积极思考、独立完成作业，注重理论与实践相结合。

02极限与连续

010203极限的定义极限的性质极限存在的条件极限的概念与性质描述函数或数列在某一点或无穷远处的变化趋势。包括唯一性、有界性、保号性等，是求解极限问题的基础。阐述函数或数列极限存在的充分必要条件。

极限的运算法则极限的四则运算法则阐述在极限运算中，和、差、积、商的极限运算法则。极限的复合运算法则讨论复合函数的极限运算法则及注意事项。极限的换元法与夹逼准则介绍换元法和夹逼准则在求解极限问题中的应用。

无穷小量的定义与性质阐述无穷小量的概念、性质及与极限的关系。无穷小量与无穷大量的关系讨论无穷小量与无穷大量之间的联系与转换。无穷大量的定义与性质介绍无穷大量的概念、性质及与极限的联系。无穷小量与无穷大量

80%80%100%连续性的概念与判定阐述函数在某一点连续的概念及充要条件。介绍判定函数连续性的方法及步骤，包括直接法、定义法、极限法等。讨论函数不连续点的概念、分类及判定方法。连续性的定义连续性的判定方法间断点及其分类

03导数与微分

导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系导数的概念与几何意义导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。函数在某点可导则一定连续，但连续不一定可导。导数描述了函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。

包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。基本初等函数的导数公式和、差、积、商的导数计算法则。导数的四则运算法则链式法则的应用。复合函数的导数反函数导数与原函数导数的关系。反函数的导数导数的运算法则

03高阶导数的计算逐次求导法则，以及莱布尼茨公式等。01高阶导数的定义函数导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推。02高阶导数的几何意义高阶导数在几何上表示曲线在某一点的曲率变化。高阶导数

微分及其在近似计算中的应用微分是函数增量的线性部分，即在一个数集中，当一个数靠近时，函数在这个数处的极限被称为函数在该处的微分。微分的几何意义微分在几何上表示曲线在某一点附近的切线纵坐标的增量。微分在近似计算中的应用利用微分进行函数值的近似计算，如泰勒公式、微分中值定理等。同时，微分还在误差估计、最优化方法等方面有广泛应用。微分的定义

04微分中值定理与导数的应用

几何意义微分中值定理表明，在闭区间上连续且开区间内可导的函数，其图像上至少存在一点，该点的切线斜率等于区间两端点连线的斜率。定理内容如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。应用场景微分中值定理在证明其他定理、研究函数性质以及解决实际问题中有着广泛的应用。微分中值定理

在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。法则内容适用条件注意事项分子分母的极限都是0或都是无穷大时，可以运用洛必达法则求极限。在运用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，如分子分母必须可导且导数不为0等。洛必达法则

123通过求导数并判断其符号来确定函数的单调性。单调性判断通过求导数并令其等于0来找到可能的极值点，再通过判断二阶导数的符号来确定极值类型（极大值或极小值）。极值求法函数的单调性与极值在研究函数性质、解决实际问题（如优化问题）等方面有着广泛的应用。应用举例函数的单调性与极值

凹凸性判断通过求二阶导数并判断其符号来确定曲线的凹凸性。拐点求法通过求二阶导数并令其等于0来找到可能的拐点，再通过判断三阶导数的符号来确定拐点类型。几何意义曲线的凹凸性与拐点反映了曲线的局部形状特征，对于研究函数的图像和性质具有重要意义。曲线的凹凸性与拐点

05不定积分

原函数与导函数之间的关系，通过积分表或积分公式求原函数。不定积分的定义线性性、可加性、积分常数等。不定积分的性质熟记基本初等函数的积分公式。基本积分表不定积分的概念与性质

第二类换元法利用三角代换、根式代换等方法，将不定积分转化为更易于求解的形式。常用的换元技巧三角恒等变换、倒代换等。第一类换元法（凑