材料力学 第八章 弯曲变形(1,2,).docxVIP

PAGE

1-

材料力学第八章弯曲变形(1,2,)

一、弯曲变形的基本概念

弯曲变形是材料力学中的一个重要概念，它描述了当材料受到横向外力作用时，其内部产生的弯曲状态。在工程实践中，弯曲变形现象广泛存在于各种结构中，如桥梁、建筑、机械构件等。例如，在桥梁的设计中，需要充分考虑梁的弯曲变形对桥梁整体性能的影响。

弯曲变形的基本形式主要有两种：一种是纯弯曲，即梁的横截面在变形前后保持平面，且变形前后两平面始终保持垂直；另一种是斜弯曲，即梁的横截面在变形前后不再保持平面，且变形前后两平面不再保持垂直。纯弯曲的数学描述较为简单，而斜弯曲则需要考虑两个主轴的弯曲。

在弯曲变形的分析中，常用的基本假设包括：梁的横截面在变形前后保持平面，且变形前后两平面始终保持垂直；梁的材料是均匀、连续的；梁的变形是微小的。基于这些假设，可以得到弯曲变形的基本公式，如弯曲应力和弯曲应变的计算公式。以简支梁为例，当梁受到均布载荷作用时，其最大弯矩M_max和最大弯曲应力σ_max分别为：

(1)M_max=(ql^2)/8

(2)σ_max=(M_max*y)/I

其中，l为梁的长度，q为单位长度的载荷，y为离中性轴的距离，I为截面的惯性矩。通过这些公式，工程师可以计算出梁在特定载荷下的最大弯曲应力，从而判断梁的强度是否满足要求。

在实际工程应用中，弯曲变形的计算往往需要结合具体的结构形式和载荷情况。例如，在建筑行业中，柱子的弯曲变形计算是确保结构安全的关键环节。以一幢高层建筑为例，其柱子可能会承受来自楼板的均布载荷、风荷载以及地震荷载等多种作用。在设计中，工程师需要根据这些荷载情况，计算出柱子的最大弯矩和最大弯曲应力，以确保柱子的强度和稳定性。通过精确的弯曲变形计算，可以避免结构在使用过程中出现破坏现象，保障人们的生命财产安全。

二、弯曲变形的几何性质

弯曲变形的几何性质是材料力学中研究的重要内容，它涉及到梁在受到外力作用时，其几何形状和尺寸的变化。首先，弯曲变形的几何性质可以通过曲率来描述，曲率是衡量梁弯曲程度的一个参数，通常用κ表示。曲率κ的定义是曲率半径R的倒数，即κ=1/R。曲率半径越小，梁的弯曲程度越大。

(1)在弯曲变形中，梁的横截面会绕中性轴发生旋转，这种旋转称为横截面转动。横截面转动的角度θ与曲率κ和梁的长度l有关，其关系为θ=κl。横截面转动的存在使得梁的横截面不再保持初始的平面状态，而是发生旋转，从而改变了梁的几何形状。

(2)弯曲变形还会导致梁的长度发生变化，这种现象称为梁的长度变化。梁的长度变化可以通过梁的轴向应变ε来描述，轴向应变ε是梁的长度变化ΔL与原始长度L的比值，即ε=ΔL/L。当梁受到弯曲力矩作用时，其轴向应变会随着曲率的变化而变化，从而影响梁的整体性能。

(3)在弯曲变形过程中，梁的横截面会沿着中性轴发生翘曲，这种翘曲现象称为横截面翘曲。横截面翘曲会导致梁的横截面不再保持初始的对称状态，从而影响梁的承载能力和稳定性。为了描述横截面翘曲的程度，引入了翘曲角φ的概念，翘曲角φ是横截面翘曲前后的角度差。翘曲角的计算与梁的曲率和横截面的几何形状有关，是评估梁在弯曲变形过程中几何稳定性的一项重要指标。

三、弯曲变形的物理性质

(1)弯曲变形的物理性质主要涉及到材料的应力-应变关系。以钢材料为例，当钢梁受到弯曲力矩作用时，其横截面上会产生正应力和剪应力。正应力σ通常在梁的受拉侧达到最大值，而剪应力τ在梁的受剪侧达到最大值。根据实验数据，钢的屈服极限大约为235MPa，抗拉强度约为410MPa。例如，一根直径为100mm的圆钢，在弯曲试验中，当其受拉侧的正应力达到屈服极限时，梁将开始出现塑性变形。

(2)弯曲变形的物理性质还体现在材料的弹性模量E和泊松比μ上。弹性模量E是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数，其数值通常远大于屈服极限。以钢为例，其弹性模量E约为200GPa。泊松比μ是衡量材料横向变形与纵向变形相对关系的参数，钢的泊松比大约为0.3。在实际工程中，这些物理性质对于预测和分析梁在弯曲变形下的性能至关重要。

(3)在弯曲变形过程中，材料的内部应力分布是一个复杂的问题。以简支梁为例，当梁受到均布载荷时，其最大正应力通常出现在距离中性轴最远的受拉侧。根据材料力学理论，最大正应力σ_max与载荷q、梁的长度l、截面惯性矩I和最大挠度y_max有关。例如，一根长为2m、截面惯性矩为10^8mm^4的梁，在受到10kN/m的均布载荷作用下，其最大正应力σ_max约为30.8MPa。这些数据有助于工程师在设计阶段评估梁的强度和挠度，确保结构的安全性。

四、弯曲变形的强度计算

(1)弯曲变形的强度计算是确保结构安全性的关键步骤。在计算过程中，需要考虑梁的截面尺寸、材料属性以及作用在梁上的载荷。以一根简支梁为例，当其受到