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2025高考数学二轮复习-专题二-微专题20-极化恒等式、等和线、奔驰定理-专项训练【含答案】.pdf

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微专题20极化恒等式、等和线、奔驰定理

[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,

特别适合于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线,点

共线问题,也可由共线求参数;用向量共线定理求解则更加简洁.奔驰定理对于利用平面向

量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基

石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用,技巧性较强.一般难度

较大.

考点一极化恒等式

1

22

极化恒等式:a·b=[(a+b)-(a-b)].

4

(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与

1

“差对角线”平方差的.

4

(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点,则:

→→1→→

22

①PM·PN=(|PQ|-|NM|)(平行四边形模式);

4

→→→1→

PMPNPO2NM2

②·=||-||(三角形模式).

4

典例1(1)(2023·洛阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,

→→→→

EFFGGHHE

H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则·+·等于()

3333

A.B.-C.D.-

2244

答案A

1

→→→→→→3→→→→

222

解析取HF的中点O,则EF·FG=EF·EH=EO-OH=1-=,GH·HE=GH·GF=

2

4

1

→→3

222

GO-OH=1-=,

2

4

→→→→3

EFFGGHHE

因此·+·=.

2

→→→→

||

AC

(2)(2023·葫芦岛模拟)如图,在四边形ABCD中,=4,BA·BC=12,E为AC的中点.BE=

→→→

EDDADC

2,则·的值为()

A.0B.12C.2D.6

答案A

||

AC

解析∵=4,E为AC的中点,

→→

||||

AECE

∴==2,

→→→→→

222

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