2025高考数学二轮复习-专题二-微专题20-极化恒等式、等和线、奔驰定理-专项训练【含答案】.pdf

微专题20极化恒等式、等和线、奔驰定理

[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，

特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点

共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁．奔驰定理对于利用平面向

量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基

石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度

较大．

考点一极化恒等式

1

22

极化恒等式：a·b＝[(a＋b)－(a－b)]．

4

(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与

1

“差对角线”平方差的.

4

(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：

→→1→→

22

①PM·PN＝(|PQ|－|NM|)(平行四边形模式)；

4

→→→1→

PMPNPO2NM2

②·＝||－||(三角形模式)．

4

典例1(1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，

→→→→

EFFGGHHE

H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于()

3333

A.B．－C.D．－

2244

答案A

1

→→→→→→3→→→→

222

解析取HF的中点O，则EF·FG＝EF·EH＝EO－OH＝1－＝，GH·HE＝GH·GF＝

2

4

1

→→3

222

GO－OH＝1－＝，

2

4

→→→→3

EFFGGHHE

因此·＋·＝.

2

→→→→

||

AC

(2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，＝4，BA·BC＝12，E为AC的中点.BE＝

→→→

EDDADC

2，则·的值为()

A．0B．12C．2D．6

答案A

→

||

AC

解析∵＝4，E为AC的中点，

→→

||||

AECE

∴＝＝2，

→→→→→

222