2025高考数学二轮复习-专题一-微专题5-函数的极值、最值-专项训练【含答案】.pdf

微专题5函数的极值、最值

[考情分析]应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的

零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，

难度中等偏上，属综合性问题．

考点一利用导数研究函数的极值

ax2

典例1已知函数f(x)＝e(x－1).

(1)若a＝1，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；

(2)求f(x)的极大值与极小值；

x2x2

解(1)当a＝1时，f(x)＝e(x－1)，f′(x)＝e(x－1)，

02

所以f′(0)＝e(0－1)＝－1，

02

又f(0)＝e(0－1)＝1，

所以切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.

ax2axax

(2)f′(x)＝ae(x－1)＋2e(x－1)＝e(x－1)(ax－a＋2)，

当a＝0时，f′(x)＝2(x－1)＝0，解得x＝1，

故当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减；

当x1时，f′(x)0，f(x)单调递增，

所以当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝0，无极大值．

2

当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝1，x＝1－，

12

a

2

故当x1－或x1时，f′(x)0，f(x)单调递增，

a

2

当1－x1时，f′(x)0，f(x)单调递减，

a

22

－

1－－4ea2

故f(x)的极大值为fa＝ea2a2＝，极小值为f(1)＝0.

2

a

2

当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝1，x＝1－，

12

a

2

故当x1或x1－时，f′(x)0，f(x)单调递减，

a

2

当1x1－时，f′(x)0，f(x)单调递增，

a

22

－

1－－4ea2

故f(x)的极大值为fa＝ea2a2＝，极小值为f(1)＝0.

2

a

综上，当a＝0时，f(x)的极小值为f(1)＝0，无极大值；

2

－

1－4ea2

当a≠0时，f(x)的极大值为fa＝，极小值为f(1)＝0.