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2024辽宁中考数学二轮专题训练

题型六与圆有关的证明及计算

突破设问一切线的判定

，，

类型一交点不确定作垂直证半径

典例精讲

例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，

DC长为半径作⊙D.

求证：AB是⊙D的切线．

例1题图

满分技法

当题目中未给出切点时，通常过圆心作垂线，利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，

来证明所作垂线等于半径．

针对训练

1.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径画圆，与BC相切于点

C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.

求证：AB为⊙O的切线．

第1题图

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，，

类型二交点确定连半径证垂直

典例精讲

例2如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已

知∠ACD＝∠ABC.

求证：CD是⊙O的切线．

例2题图

满分技法

若图中有要证切线的垂线，可证明过交点的半径与这条垂线平行：

1.“角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证

得平行；

2.①连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行．

②题干中给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证．

③常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证

得垂直．

针对训练

2.如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点

F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为点D，∠BEF＝2∠F.

求证：AC为⊙O的切线．

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第2题图

3.如图，点A为⊙O上的一点，点P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点B，且B是OP的中

点，连接AB、AP，以AB、BO为邻边作菱形OBAC，点C恰好落在⊙O上．

求证：AP是⊙O的切线．

第3题图

4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点O作OD⊥AC于点D，过点

A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC交AB的延长线于点P.

求证：EC是⊙O的切线．