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2025年全国新高考II卷数学试题及答案
一、选择题(每题5分,共25分)
1.若函数\(f(x)=(x^22x+1)^3\)的图像与x轴相切,则切点的坐标为()
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(2,1)
D.(1,1)
2.若矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)的行列式值为负数,则以下结论正确的是()
A.矩阵A的逆矩阵不存在
B.矩阵A的行列式值为1
C.矩阵A的迹为负数
D.矩阵A的行列式值为0
3.已知等差数列{an}的前n项和为\(S_n=2n^2+n\),则该数列的通项公式为()
A.\(a_n=4n3\)
B.\(a_n=4n+3\)
C.\(a_n=2n+1\)
D.\(a_n=2n1\)
4.在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且\(a^2+b^2=2c^2\)。若三角形ABC的面积为3,则边a的取值范围是()
A.\(a\in(0,3)\)
B.\(a\in[0,3]\)
C.\(a\in(0,\sqrt{6})\)
D.\(a\in[0,\sqrt{6}]\)
5.已知函数\(g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)(adbc≠0)在x=1时取得极值,则以下结论正确的是()
A.a+b=0
B.c+d=0
C.a=c
D.b=d
二、填空题(每题5分,共25分)
6.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}=L\),则L的值为______。
7.若复数\(z=1+i\)的平方为______。
8.已知函数\(h(x)=x^33x^2+4\)的单调增区间为______。
9.若直线\(y=kx+m\)与圆\((x2)^2+(y3)^2=16\)相切,则k和m的关系式为______。
10.若数列{bn}的前n项和为\(T_n=n^2+n\),则该数列的通项公式为______。
三、解答题(共50分)
11.(本题10分)已知函数\(f(x)=x^33x^2+2\),求函数的极值点及极值。
12.(本题15分)在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且\(a^2+b^2c^2=ab\)。求证:角C为60度。
13.(本题25分)已知函数\(g(x)=x^2+kx+m\)在x=1时取得最小值,且该最小值为4。
(1)求k和m的值;
(2)若函数\(g(x)\)的图像与x轴相交于两点,求k的取值范围。
2025年全国新高考II卷数学试题答案
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
二、填空题
6.5
7.2i
8.(1,+∞)
9.\(k^2+m^2=\frac{16}{5}\)
10.\(b_n=2n+1\)
三、解答题
11.函数\(f(x)=x^33x^2+2\)的导数为\(f(x)=3x^26x\)。令\(f(x)=0\),解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\in(∞,0)\)或\(x\in(2,+∞)\)时,\(f(x)0\);当\(x\in(0,2)\)时,\(f(x)0\)。因此,x=0是函数的极大值点,x=2是函数的极小值点。极大值为\(f(0)=2\),极小值为\(f(2)=2\)。
12.由已知\(a^2+b^2c^2=ab\),利用余弦定理可得\(\cosC=\frac{a^2+b^2c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)。因为C在0到π之间,所以\(C=\frac{\pi}{3}\)。
13.(1)由于函数在x=1时取得最小值,因此对称轴为x=1。对称轴公式为\(x=\frac{b}{2a}\),所以\(k=2\)。由于最小值为4,即\(g(1)=4\),代入\(g(x)\)得\(1+k+m=4\),解得\(m=5\)。
(2)由于\(g(
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