第05讲线段的垂直平分线（4大知识点+11大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）[含答案] .pdf

第05讲线段的垂直平分线

1.了解线段垂直平分线的性质；

模块一思维导图串知识

2.学会线段垂直平分线的判定；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

3.掌握三角形三边的垂直平分线的交点的

模块三核心考点举一反三

性质；

模块四小试牛刀过关测

4.掌握线段的垂直平分线有关的尺规作图．

知识点1线段垂直平分线的性质

定线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

117MN⊥ABCACBCPMN

已知：如图－，直线，垂足为，且＝，是上的任意一点．

试卷第1页，共24页

PAPB

求证：＝．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

ACBCPCPC

∵＝，＝，

∴△PCA≌△PCBSAS

（）．

∴PAPB

＝（全等三角形的对应边相等）．

注：如果点P与点C重合，那么结论显然成立．

知识点2线段垂直平分线的判定

思考：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明．

定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

下面证明过程供参考．

ABPAPB

已知：如图，线段，＝．

求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

PMN⊥ABCPC△PAB

证明：过点作直线，垂足为，则是的高．

∵PAPB

＝，

∴△PAB是等腰三角形．

∴PC是△PAB的中线（三线合一）．

ACBC

∴＝．

∴直线MN是线段AB的垂直平分线．

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

试卷第2页，共24页

ABCPC⊥AB

证明这一判定定理有多种思路，除了上面的方法，还可以取的中点，证明；或

∠APBPCPC⊥ABACBC

作的平分线，证明，且＝

总结：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点的集合；线段是一个轴对

称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴．

知识点3三角形三边的垂直平分线的交点

例1求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

119△ABCABBCP

已知：如图－，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点．

ACPPAPBPC

求证：边的垂直平分线经过点，且＝＝．

∵PAB

证明：点在线段的垂直平分线上，

∴PAPB

＝（线段