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工程力学-第七章弯曲变形

一、弯曲变形的基本概念

弯曲变形是指在外力作用下，构件的形状和尺寸发生变化的现象。在工程力学中，弯曲变形是结构力学分析的重要组成部分，涉及到构件的几何形状、材料性能和受力状态。当构件受到横向力作用时，其轴线会从直线变为曲线，这种变形称为弯曲。弯曲变形可以是纯弯曲，也可以是组合变形，如弯扭组合或弯曲剪切组合。

纯弯曲是指构件的轴线仅发生弯曲，而没有剪切或扭转的情况。在纯弯曲状态下，构件的横截面会保持平面性，且其法线与弯曲后的轴线呈一定角度。这种变形的特点是弯矩分布均匀，弯矩与曲率之间存在一定的关系。曲率是描述弯曲程度的重要参数，它反映了构件轴线偏离直线的程度。

弯曲变形的计算需要考虑多个因素，包括构件的几何尺寸、材料的弹性模量、弯矩分布以及加载条件等。在实际工程中，构件的弯曲变形可能会导致其承载能力下降，甚至引发结构破坏。因此，对弯曲变形的分析和计算对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。在设计和施工过程中，工程师需要合理选择材料、优化截面形状和尺寸，以减小弯曲变形对结构性能的影响。

二、弯曲变形的受力分析

(1)在弯曲变形的受力分析中，构件主要承受弯矩和剪力的作用。弯矩是由外力引起的，其大小与外力矩成正比，而剪力则与外力垂直，其大小取决于外力的分布和构件的几何形状。以一根简支梁为例，当其在两端受到集中力作用时，梁的内部将产生弯矩和剪力。根据力的平衡条件，梁在任意截面处的弯矩和剪力必须相互抵消，以保证结构的稳定性。

(2)在弯曲变形的分析中，常用到弯矩图和剪力图来表示梁内力的分布。以一根长为L、截面惯性矩为I的简支梁为例，当其在中点受到集中力F的作用时，弯矩图将呈现出一个抛物线形状，其最大弯矩发生在力的作用点，大小为M_max=(F*L^2)/8。剪力图则呈现为一条直线，剪力大小在力的作用点达到最大值，而在支点处为零。

(3)实际工程中，弯曲变形的受力分析还需考虑材料性能的影响。以钢筋混凝土梁为例，其受弯性能不仅取决于混凝土和钢筋的材料特性，还受到配筋率、混凝土强度等级和钢筋直径等因素的影响。例如，当配筋率较高时，梁的弯曲刚度会增加，从而减小弯曲变形。在实际工程中，通过调整配筋率和混凝土强度等级，可以有效地控制梁的弯曲变形，确保结构的安全性和耐久性。以某钢筋混凝土梁为例，当混凝土强度等级为C30，钢筋等级为HRB400时，梁的受弯承载力可达到约100kN，而其最大挠度可控制在20mm以内，满足设计要求。

三、弯曲应力和应变的计算

(1)弯曲应力和应变的计算是工程力学中的重要内容，它涉及到构件在弯曲作用下的内部应力分布。在弯曲过程中，构件的横截面会承受拉伸和压缩的应力，这些应力在截面上的分布与弯矩和截面惯性矩有关。根据材料力学的基本理论，弯曲应力可以通过以下公式计算：σ=My/I，其中σ表示应力，M表示弯矩，y表示离中性轴的距离，I表示截面惯性矩。这个公式表明，应力与弯矩成正比，与离中性轴的距离成反比。

(2)在实际计算中，弯曲应变的确定同样依赖于应力和材料的弹性模量。应变是描述材料变形程度的物理量，其计算公式为ε=σ/E，其中ε表示应变，E表示材料的弹性模量。对于线性弹性材料，应变与应力之间存在线性关系。以钢材为例，当钢材在弹性范围内工作时，其应力-应变曲线近似为直线，这意味着应力和应变之间呈线性关系。

(3)在工程实践中，弯曲应力和应变的计算通常需要结合具体的工程情况和材料特性。例如，在一根受弯的简支梁中，如果已知梁的尺寸、材料特性和荷载情况，可以通过上述公式计算出梁在最大弯矩处的最大应力和应变。这些计算结果对于评估结构的强度和刚度至关重要。在实际应用中，还需要考虑温度、湿度等环境因素对材料性能的影响，以及结构在长期荷载作用下的疲劳性能。因此，弯曲应力和应变的计算是一个复杂的过程，需要综合考虑多种因素。

四、梁的弯曲变形计算

(1)梁的弯曲变形计算是结构力学中的一个重要课题，它涉及到梁在受到弯矩作用时的形状变化。在计算梁的弯曲变形时，首先要确定梁的几何参数，包括长度、截面尺寸和截面惯性矩。根据材料力学原理，梁的弯曲变形可以通过弯曲曲率K来描述，曲率K是弯曲半径R与梁的长度L的比值，即K=1/R。

(2)对于简支梁，其弯曲变形的计算可以通过应用微分方程得到。梁的弯曲变形方程为：y=(M(x)/E*I)，其中y表示弯曲曲率，M(x)表示梁的弯矩，E表示材料的弹性模量，I表示截面的惯性矩。通过对这个方程进行积分，可以得到梁的弯曲位移y(x)的表达式。对于简支梁，其边界条件为y(0)=0和y(L)=0，这意味着梁的两端在水平方向上的位移为零。

(3)在实际工程中，梁的弯曲变形计算需要考虑多种因素，如荷载的类型和分布、材料特性、梁的截面形状和尺寸等。例如，当梁受到均匀分布