2024-2025学年上海浦外附中高三上学期数学月考试卷及答案（2024.12）.docx

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浦外附中2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.11

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．设全集，若集合，则________．

2．若幂函数的图像经过，则此幂函数的表达式为________．

3．不等式的解集为________．

4．已知是上的奇函数，则的值为________．

5．已知空间向量，，，若，则________．

6．已知，的二项展开式中各项系数和为729，则展开式中项的系数

是________．

7．已知圆锥的侧面积为，且侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为________．

8．袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成________个不同的四位数（用数字回答）．

9．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则________．

10．，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率是________．

11．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为________．

12．已知函数的图像是以直线交于点、，其中，与直线交于两点、，其中，则的最小值为________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．已知抛物线，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，则线段的长为（）

A． B． C．40 D．20

15．如图所示，是正方体的面对角线上的动点，下列与始终异面的直线是（）

A． B． C． D．

16．已知，集合，，．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合表示的平面图形的面积不大于．

A．①为真命题；②为假命题 B．①为假命题；②为真命题

C．①为真命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求与平面所成的角的大小．

18．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若为在方向上的投影向量，且满足．

（1）求的值；

（2）若，，求的周长．

19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100们顾客的相关数据，如下表所示

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数（人）

30

25

10

结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客点55%．

（1）确定，的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，覅用户第二类人群中应抽取的人数；

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、．

（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；

（2）已知，，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求的坐标；

（3）已知，，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于、两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由．

21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数“相关点”．

（1）若函数存在“相关点”，求的值；

（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值；

（3）设函数的表达式为（常数、、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．

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参考答案

一、填空题

1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；

11．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】因为,由,得到,

所以或

所以)

又因为存在实数,使函数在上有且仅有2个零