高考数学复习选修部分几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系文北师大版选修4_124.docVIP

第2讲直线与圆的位置关系

1．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E.

(1)求证：E是AB的中点；

(2)求线段BF的长．

解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，所以EA＝EB，即E为AB的中点．

(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，

所以S△BEC＝eq\f(1,2)BF·CE＝eq\f(1,2)CB·BE，

所以eq\f(BF,BE)＝eq\f(CB,CE)，所以BF＝eq\f(\r(5),5)a.

2.

(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.

(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大小．

解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，

故∠DEC＝∠DCE.

连接OE，则∠OBE＝∠OEB.

又∠ACB＋∠ABC＝90°，

所以∠DEC＋∠OEB＝90°，

故∠OED＝90°，

即DE是⊙O的切线．

(2)设CE＝1，AE＝x.

由已知得AB＝2eq\r(3)，BE＝eq\r(12－x2).

由射影定理可得AE2＝CE·BE，

即x2＝eq\r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0.

解得x＝eq\r(3)，

所以∠ACB＝60°.

3.

(2015·高考湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：

(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；

(2)FE·FN＝FM·FO.

证明：(1)如图

所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，

即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，

因此∠OME＋∠ENO＝180°.

又四边形的内角和等于360°，

故∠MEN＋∠NOM＝180°.

(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，

故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.

4.

(2016·九江统考)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD交⊙O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F.

(1)证明：BC＝CE；

(2)证明：△BCF∽△EAC.

证明：(1)因为CD为⊙O的切线，C为切点，AB为⊙O的直径，

所以OC⊥CD，

又AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA＝∠CAE，

又OC＝OA，所以∠OAC＝∠OCA，

所以∠OAC＝∠CAE，

所以BC＝CE.

(2)由弦切角定理可知，∠FCB＝∠OAC，所以∠FCB＝∠CAE，

因为四边形ABCE为圆O的内接四边形，

所以∠ABC＋∠CEA＝180°，

又∠ABC＋∠FBC＝180°，

所以∠FBC＝∠CEA，

所以△BCF∽△EAC.

1．(2016·西安地区八校联考)如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，AB＝BD.过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，∠PBD的角平分线与DC的延长线交于点E.

(1)若AB＝3，PD＝2eq\r(7)，求AD的长；

(2)求证：BE2＝CE·DE.

解：(1)PD为圆O的切线，PA为圆O的割线，

故PD2＝PB·PA＝PB·(PB＋BA)，

所以(2eq\r(7))2＝PB(PB＋3)，PB＝4.

又∠A＝∠BDP，∠P＝∠P，

所以△ADP∽△DBP，

所以eq\f(AD,BD)＝eq\f(PD,PB)，AD＝eq\f(PD·DB,PB)＝eq\f(2\r(7)×3,4)＝eq\f(3\r(7),2).

(2)证明：由已知：∠BCE＝∠A，∠PBD＝∠A＋∠BDA，

而AB＝BD，

故∠A＝∠BDA，

所以∠PBD＝2∠A，又因为BE平分∠PBD，

所以∠EBD＝∠A，

所以∠BCE＝∠EBD，

又∠BEC＝∠BED，所以△BEC∽△DEB，

所以eq\f(BE,CE)＝eq\f(DE,BE)，BE2＝CE·DE.

2．(2016·郑州第一次质量预测)

如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；

(2)若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．

解：(1)证明：因为PG＝PD，

所以∠PDG＝∠PGD.

由于PD为切线，

故∠PDA＝∠DBA，

又因为∠EGA＝∠PGD，

所以∠EGA＝∠DBA，

所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，

从而∠BDA＝∠PFA.

又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，

所以∠BDA＝90°，

故AB为