随机变量的方差和标准差.ppt

*第二节随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对期望E(X)的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。一、方差的定义*定义即计算公式:*A若X是离散型随机变量，其概率分布为B则C计算公式:D若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，E则设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P30.30.10.1例1解Y0120.6P30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.X0120.5P30.30.10.1Y0120.6P30.10.20.1均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.由于D(X)D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.例2设随机变量X的概率密度函数*解01求：EX,DX.02二、方差的性质*性质3证其中C是常数。证性质2若k是常数,则性质1D(C)=0，其中C是常数。*性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则证而当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以推广：若X1,X2,…,Xn两两独立,则性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则证若X1,X2,…,Xn两两独立,则*注意：以下两个式子是等价的,的充分必要条件为,存在常数C,使事实上,性质5例如,当X和Y相互独立时,有0102030405三、切比雪夫不等式*随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。定理成立.0103021定理2成立.3证4设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),则如取上式可改写为切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时，以数学期望E(X)为中心的分散程度。不难看出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在数学期望E(X)的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。0102