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材料力学第五章弯曲应力-正式

一、弯曲应力的基本概念

在材料力学中，弯曲应力是指当结构或构件受到横向载荷作用时，其内部产生的应力。这种应力主要发生在梁、板、壳等承受弯曲的构件中。弯曲应力的产生是由于构件的几何形状和受力状态决定的。当构件受到横向载荷时，其轴线会发生弯曲，从而在构件的横截面上产生正应力、剪应力和弯矩等力学效应。

弯曲应力的基本概念涉及到正应力和剪应力的计算方法。正应力是指垂直于构件横截面的应力，其大小与弯矩成正比，与截面惯性矩成反比。剪应力则是指平行于构件横截面的应力，其大小与剪力成正比，与截面面积成反比。这两种应力在构件的横截面上不是均匀分布的，而是随着截面位置的不同而变化。

在分析弯曲应力时，通常需要考虑构件的几何尺寸、材料性质以及载荷的大小和分布情况。例如，梁的弯曲应力分析需要确定梁的截面形状、尺寸以及所受载荷的类型和大小。通过建立相应的力学模型，可以计算出构件在弯曲作用下的应力分布情况，从而评估构件的强度和稳定性。在实际工程应用中，正确理解和计算弯曲应力对于确保结构的安全性和可靠性具有重要意义。

二、梁的弯曲与剪力图、弯矩图

(1)梁的弯曲是材料力学中常见的一种变形形式，它涉及梁在受到横向载荷作用时产生的曲率。梁的弯曲分析是结构设计中的重要环节，它直接影响梁的承载能力和使用寿命。弯曲梁的变形可以通过弯矩和剪力来描述，这两个参数在梁的截面上的分布情况可以通过剪力图和弯矩图来直观展示。

(2)剪力图和弯矩图是结构分析中的基本工具，它们通过图形的方式展示了梁在受力过程中的内部力学状态。剪力图描绘了梁在各个截面上的剪力分布，弯矩图则展示了弯矩在梁上的变化规律。这两个图通常通过积分和平衡方程来绘制，它们对于理解梁的受力行为和设计计算至关重要。

(3)在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑梁的边界条件、载荷分布以及支座反力等因素。通过这些信息，可以确定梁上各个截面的剪力和弯矩。剪力图和弯矩图的正确绘制有助于工程师评估梁的应力状态，进而设计出满足强度和稳定性要求的结构。同时，这些图也是进行结构优化和失效分析的重要依据。

三、纯弯曲时的弯曲应力计算

(1)纯弯曲是指梁在受到横向载荷作用时，仅发生弯曲变形，而未发生剪切变形和轴向拉伸或压缩的情况。在纯弯曲状态下，梁的横截面将保持平面，且这些平面将绕着梁的轴线旋转一定角度。根据材料力学的理论，纯弯曲时的弯曲应力可以通过弯曲理论公式进行计算。

例如，考虑一根长度为L，截面惯性矩为I，抗弯截面模量为W的简支梁，在距离一端为a处受到集中载荷F的作用。在这种情况下，梁的弯矩M可以用以下公式表示：M=(F*a)/4。根据弯曲应力公式σ=My/I，我们可以计算出最大弯曲应力发生在梁的截面中心。

(2)在实际工程应用中，通过计算纯弯曲时的弯曲应力，可以确保梁的结构安全。例如，一根L=6m，I=1000mm^4的简支梁，其抗弯截面模量W=800mm^3。当梁在中间受到一个F=10kN的集中载荷时，根据上述公式计算，最大弯曲应力σ为：σ=(10kN*3m)/(1000mm^4/1000)=30MPa。这个结果告诉我们，梁在受到集中载荷时，其最大弯曲应力为30MPa，这个值需要小于材料的许用应力，以确保梁的安全性。

(3)另一个案例是一个I=60000cm^4的简支梁，长度L=8m，抗弯截面模量W=24000cm^3。当梁在中间受到一个F=100kN的集中载荷时，我们可以计算最大弯曲应力：σ=(100kN*4m)/(60000cm^4/1000000)=66.67MPa。在这种情况下，我们需要检查材料的许用应力是否能够承受这个应力值。如果材料的许用应力小于66.67MPa，那么这个设计可能是不安全的，需要重新考虑梁的设计参数或者选择更高强度的材料。

四、剪力引起的应力计算

(1)剪力引起的应力是材料力学中的一个重要概念，尤其在分析梁和板等受剪构件时。当结构受到剪力作用时，剪力在构件横截面上会产生剪应力，这种应力与剪力和截面的几何形状密切相关。剪应力的计算通常基于剪力分布和截面的抗剪性能。

以一根简支梁为例，如果梁的跨中受到集中载荷作用，梁的剪力图会显示出剪力在跨中达到最大值。在这种情况下，梁的剪应力可以通过剪力分布和截面尺寸来计算。例如，一根长度为L，截面宽度为b，高度为h的矩形截面梁，在跨中受到剪力V的作用，其剪应力τ可以表示为τ=V/(b*h)。

(2)在实际工程中，剪应力计算对于确定结构的抗剪能力至关重要。例如，一座桥梁的横梁在承受车辆荷载时，需要确保横梁不会因为剪应力过大而发生剪切破坏。通过精确计算剪应力，工程师可以设计出满足结构要求的截面尺寸。假设一根横梁的截面尺寸为b=30cm，h=50cm，当其受到剪力V=200kN的作用时，其剪应力τ为：τ=200kN/