2025高考数学二轮复习-专题二-微专题18-解三角形中的范围与最值问题-专项训练【含答案】.pdf

微专题18解三角形中的范围与最值问题

[考情分析]解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积

有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函

数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关

键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难

度中等．

考点一转化为三角函数求最值(范围)

典例1(2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA－bsin

B＝csin(A－B)．

(1)求a的值；

222

3b＋c－a

(2)若△ABC的面积为，求△ABC周长的最大值．

4

解(1)方法一设4＝at，t0，

在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sinA，

b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，

22

代入已知化简得tsinA－sinB＝sinCsin(A－B)，

又在△ABC中有sinC＝sin(A＋B)，

22

即tsinA－sinB＝sin(A＋B)sin(A－B)，

因为sin(A＋B)sin(A－B)

1

22

＝－(cos2A－cos2B)＝sinA－sinB，

2

2222

即tsinA－sinB＝sinA－sinB，

所以t＝1，所以a＝4.

方法二设4＝at，t0，

在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sinA，

b＝2R·sinB，c＝2R·sinC，

22

代入已知化简得tsinA－sinB＝sinCsin(A－B)，

又在△ABC中有sinC＝sin(A＋B)，

22

即tsinA－sinB＝sin(A＋B)sin(A－B)，

因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)(sinAcosB－cosAsinB)

2222222222

＝sinAcosB－cosAsinB＝sinA(1－sinB)－(1－sinA)sinB＝sinA－sinB，

2222

即tsinA－sinB＝sinA－sinB，

所以t＝1，所以a＝4.

(2)在△ABC中有

222

13b＋c－a

S＝bcsinA＝，

24

222

3b＋c－a

则sinA＝＝3cosA，

2bc

3

即tanA＝，

π

又A∈(0，π)，所以A＝，

3

bca48

由正弦定理得＝＝＝＝，

sinBsinCsinAsinπ3

3

88

故b＝·sinB，c＝·sinC，

33

2π

8－B

b＋c＝sinB＋sin3

3

31

8sinB＋cosB＋sinB

＝