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2025高考数学二轮复习-专题四-第1讲-空间几何体-专项训练【含答案】.pdf

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第1讲空间几何体

[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础,空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等或偏上.

考点一空间几何体的折展问题

核心提炼

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

例1(1)(2023·南宁模拟)如图,已知圆锥的底面半径为1,母线长SA=3,一只蚂蚁从A点

出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为()

A.23B.33

C.6D.2π

答案B

解析已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,如图,一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧

面爬行一圈回到点A的最短距离为AA′,

设∠ASA′=α,

圆锥底面周长为2π,所以AA=α×3=2π,

所以α=,

3

在△SAA′中,由SA=SA′=3和余弦定理,得

22

AA′=SA+SA′-2SA·SA′·cosα

1

22

=3+3-2×3×3×2=33.

(2)(2023·深圳模拟)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=3,AB=1,AD=1,

AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB等于()

1133

A.B.C.D.

2354

答案D

解析由题意知,AE=AD=AB=1,BC=2,

在△ACE中,由余弦定理得

222

CE=AE+AC-2AE·AC·cos∠CAE

3

3

=1+3-2×1××=1,

2

2

∴CE=CF=1,而BF=BD=,BC=2,

∴在△BCF中,由余弦定理的推论得,

2224+1-2

BC+CF-BF3

cos∠FCB===.

2BC·CF2×2×14

规律方法空间几何体最短距离问题,一般是将空间几何体展开成平面图形,转化成求平面

中两点间的最短距离问题,注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练1(1)(多选)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法中

正确的是()

A.C∈GH

B.CD与EF是共面直线

C.AB∥EF

D.GH与EF是异面直线

答案ABD

解析由图可知,还原正方体后,点C与G重合,即C∈GH,又可知CD与EF是平行直线,

即CD与EF是共面直线,AB与EF是相交直线(点B与点F重合),GH与EF是异面直线,

故A,B,D正确,C错误.

(2)(2023·鞍山模拟)如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC

=30°,过点A作截面AEF,则△AEF周长的最小值为()

A.62B.63C.82D.83

答案C

解析沿侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图所示,则AA′即为△AEF周

长的最小值,又因为∠AVB=∠A′VC=∠BVC=30°,

所以∠AVA′=3×30°=90°,在△VAA′中,VA=VA′=8,由勾股定理得AA′=

2222

VA+VA′=8+8=82.

考点二表面积与体积

核心提炼

1.旋转体的侧面积和表面积

(1)S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长).

(2)S圆锥侧=πrl,S圆锥表=π

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