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第1讲空间几何体
[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础,空间几何体的表面积和体积是高考
的重点与热点,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等或偏上.
考点一空间几何体的折展问题
核心提炼
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形.
(2)圆锥的侧面展开图是扇形.
(3)圆台的侧面展开图是扇环.
例1(1)(2023·南宁模拟)如图,已知圆锥的底面半径为1,母线长SA=3,一只蚂蚁从A点
出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为()
A.23B.33
C.6D.2π
答案B
解析已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形,如图,一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧
面爬行一圈回到点A的最短距离为AA′,
设∠ASA′=α,
圆锥底面周长为2π,所以AA=α×3=2π,
2π
所以α=,
3
在△SAA′中,由SA=SA′=3和余弦定理,得
22
AA′=SA+SA′-2SA·SA′·cosα
1
-
22
=3+3-2×3×3×2=33.
(2)(2023·深圳模拟)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=3,AB=1,AD=1,
AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB等于()
1133
A.B.C.D.
2354
答案D
解析由题意知,AE=AD=AB=1,BC=2,
在△ACE中,由余弦定理得
222
CE=AE+AC-2AE·AC·cos∠CAE
3
3
=1+3-2×1××=1,
2
2
∴CE=CF=1,而BF=BD=,BC=2,
∴在△BCF中,由余弦定理的推论得,
2224+1-2
BC+CF-BF3
cos∠FCB===.
2BC·CF2×2×14
规律方法空间几何体最短距离问题,一般是将空间几何体展开成平面图形,转化成求平面
中两点间的最短距离问题,注意展开后对应的顶点和边.
跟踪演练1(1)(多选)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法中
正确的是()
A.C∈GH
B.CD与EF是共面直线
C.AB∥EF
D.GH与EF是异面直线
答案ABD
解析由图可知,还原正方体后,点C与G重合,即C∈GH,又可知CD与EF是平行直线,
即CD与EF是共面直线,AB与EF是相交直线(点B与点F重合),GH与EF是异面直线,
故A,B,D正确,C错误.
(2)(2023·鞍山模拟)如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC
=30°,过点A作截面AEF,则△AEF周长的最小值为()
A.62B.63C.82D.83
答案C
解析沿侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图所示,则AA′即为△AEF周
长的最小值,又因为∠AVB=∠A′VC=∠BVC=30°,
所以∠AVA′=3×30°=90°,在△VAA′中,VA=VA′=8,由勾股定理得AA′=
2222
VA+VA′=8+8=82.
考点二表面积与体积
核心提炼
1.旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长).
(2)S圆锥侧=πrl,S圆锥表=π
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