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第3讲空间向量与空间角
[考情分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问
题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的
形式出现，难度中等．
考点一异面直线所成的角
核心提炼
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a，b，c)，b＝(a，b，c)，异面直线l与m的夹
111222
角为θ.
π
0，
则(1)θ∈2；
(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b|
|a||b|
|aa＋bb＋cc|
121212
＝.
222222
a＋b＋ca＋b＋c
111222
例1(1)如图，已知圆柱OO的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，
12
︵︵
BEAE
满足＝2，则异面直线AE与BO所成角的余弦值为()
1
5532
A.B.C.D.
5101010
答案B
解析方法一如图，连接EO并延长，交底面圆于点F，连接FO，FB，易知AE∥BF且
21
AE＝BF，
所以∠FBO为异面直线AE与BO所成的角或其补角．
11
︵︵
BEAE
因为＝2，则∠AOE＝60°，
2
所以△AEO为正三角形，故AE＝BF＝1.
2
22
由圆柱的性质知OF＝OB＝BC＋OC＝5，
111
1
BF
5
2
所以在等腰△BFO中，cos∠FBO＝＝.
11
10
OB
1
方法二以A为原点，AB，AD所在直线分别为y轴、z轴，过点A的AB的垂线所在直线为
31
，，0
x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，O(0,1,2)，E22，
1
31
→
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