2025高考数学二轮复习-专题五-微专题34-概率与统计的创新题型-专项训练【含答案】.pdf

微专题34概率与统计的创新题型

[考情分析]概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难

度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅

读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．

考点一概率与数列的综合

典例1(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则

此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均

为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1,2，…，n，则E(错误!)iiiii

＝错误!.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．i

解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B，ii

所以P(B)＝P(AB)＋P(BB)

21212

＝P(A)P(B|A)＋P(B)P(B|B)

121121

＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.

(2)设P(A)＝p，依题可知，P(B)＝1－p，iiii

则P(A)＝P(AA)＋P(BA)

i1ii1ii1

＋＋＋

＝P(A)P(A|A)＋P(B)P(A|B)，

ii1iii1i

＋＋

即p＝0.6p＋(1－0.8)×(1－p)＝0.4p＋0.2，

i1iii

＋

构造等比数列{p＋λ}，i

21

设p＋λ＝(p＋λ)，解得λ＝－，

i1i

＋

53

1

12p－i

则p－＝3，

i1

＋

35

111

又p＝，p－＝，

11

236

1

p－i12

所以3是首项为，公比为的等比数列，

65

22

11－1－1

即p－＝×i5i1，p＝×i5i1＋.

3663

2

1－1

(3)因为p＝×i5i1＋，i＝1,2，…，n，

63

2

11－5nn52n

*1－n

所以当n∈N时，E(Y)＝p＋p＋…＋p＝×＋＝5＋，

12n61－23183