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10.2平面向量的数量积（精讲）
一．向量的夹角
→→
1.定义：已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作OA，OB，则∠AOBθ叫做向量
与的夹角．
2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角
二．向量的数量积
已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量||·||·cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作
·，即·||||cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
三．投影向量
如图，在平面内任取一点O，作，，过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则1就是向
1
量a在向量b上的投影向量，记为1
四．向量数量积的运算律
··.
(λ)·λ(·)·(λ)．
(＋)··＋·．
五．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量(x，y)，b(x，y)，a与b的夹角为θ
1122
结论几何表示坐标表示
模||2＋2
||x1y1
＋
xxyy
夹角cosθcosθ1212
2＋22＋2
x1y1x2y2
a⊥b的充要条件xx＋yy0
·01212
|a·b|与|a||b|的关系|xx＋yy|≤2＋22＋2
|·|≤||||1212x1y1x2y2
一．求非零向量，的数量积的3种方法
方法适用范围
定义法已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求
基底法
数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；
坐标法
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐
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道路桥梁工程师持证人
职业建造师，造价工程师、安全工程师、工程概预算精通，从事相关工作10余年，实际与理论结合。
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